数项级数求和方法探讨

景慧丽，赵伟舟，屈 娜，刘 华

（第二炮兵工程大学 理学院，陕西 西安710025）

数项级数求和方法探讨

景慧丽，赵伟舟，屈 娜，刘 华

（第二炮兵工程大学 理学院，陕西 西安710025）

为了帮助学员更熟练地掌握数项级数求和的方法，本文对数项级数求和的方法进行了探讨，提出可以利用定义、利用幂级数的和函数等四种常用方法来求数项级数的和.

数项级数；求和；方法

1 利用定义

定义[1]如果级数的部分和数列{sn}有极限s，即则称无穷级数收敛，这时极限s叫做这级数的和，并写成

如果{sn}没有极限，则称级数发散.

所以

2 利用幂级数的和函数

所以收敛半径R=2，收敛区间为(-2,2).

当x=2时，级数为，显然该级数发散；

注2 该数项级数的和是无法用定义求的，但利用幂级数的和函数是很容易求出的.

注3 利用幂级数的和函数求数项级数的和是一种非常常用的方法，该方法的关键是求幂级数的和函数，当然幂级数的和函数我们可以利用定义，即来求，但这种方法我们基本不用，因为它又归属于求“数列的前n项和”.

注4 我们常用幂级数和函数的分析性质，即在收敛域内幂级数的和函数可以逐项微分和逐项积分来求幂级数的和函数.一般方法是把幂级数化成常见函数的幂级数，且最常用的方法是把幂级数化成等比级数.

注5 一般地如果幂级数是的形式，我们常用先逐项微分再积分的方法来求和函数，即就是把分母中的n消去，再利用等比级数求和公式；如果幂级数是的形式，则我们是先逐项积分再微分的方法来求和函数，即就是把分子中的n消去，再利用等比级数求和公式.

3 利用函数的幂级数展开式

定义[1]幂级数称为函数f(x)在点x0处的泰勒级数.

注6 该数项级数的和是无法用定义求的，但利用函数的幂级数展开式是很容易求出的，当然该数项级数的和也可以通过构造幂级数，利用幂级数的和函数来求.

注7 利用函数的幂级数展开式求数项级数的和是一种常用的方法，该方法的关键是求函数的幂级数展开式，常用的求函数的幂级数的展开式的方法就是间接法.且这类题目一般是先求某个函数的幂级数展开式，然后借助该幂级数展开式再求数项级数的和.

4 利用傅里叶级数

定理[1]设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为

例4[2]将函数f(x)=x2在(0,π)上展为余弦级数，并求级数的和.

解 将函数f(x)进行偶延拓，则有

在x=π处，级数收敛于π2，所以

注8 对于初学者来说，利用傅里叶级数求数项级数的和是比较困难的，因为初学者很难想到可以利用哪个函数的傅里叶展开式.但是，这类题目一般是先求某个函数的傅里叶级数，然后再借助该傅里叶级数求数项级数的和，那么学员只需明确该数项级数是函数在哪一点的傅里叶级数即可.

总之，求数项级数的和是一个重点也是一个难点问题，除了上述四种方法外，还有微分方程法等其它方法，但最常用的就是利用幂级数的和函数来求，学员一定要明确可以把数项级数看成是哪个幂级数在哪一点的值.另外，学员一定灵活运用上述四种计算方法，注意不同解法的适用范围．

〔1〕同济大学应用数学系.高等数学(下)[M].北京：高等教育出版社,2007.249～316.

〔2〕张天德，蒋晓芸.吉米多维奇高等数学习题精选精解[M].山东：山东科学技术出版社,2010.428.

O13

A

1673-260X（2013）10-0007-02在高等数学课程中，数项级数求和问题是一个重点也是一个难点问题，但是，众多高等数学教材中关于求数项级数的和的方法讲得比较简略.在教学过程中发现相当一部分学员往往对求数项级数的和这一问题感到束手无策、无从下手.笔者认为对于求数项级数的和可以主要利用下列四种方法.