四边形面积公式的向量表示及应用

安徽省灵璧县第一中学 朱 勇 （邮编：234200）

高中数学必修5（北师大版）第48页的例3告诉我们：在ΔABC中，其面积有向量表示式：

那么，对于任意四边形的面积可否用向量表示呢？

如图，在四边形ABCD中，连AC、BD交于点O，设OA＝a、OB＝b、OC＝c、OD＝d，AC与BD夹角为α，则四边形ABCD的面积为

即任意四边形的面积等于两条对角线的长及夹角正弦之积的一半，这表明当四边形的两条对角线的长及夹角一定时，虽然相应四边形的形状是不确定的，但其面积却是定值，于是我们有如下结论：

在四边形ABCD中，

证明 在四边形ABCD中，构造向量、，设向量与的夹角为θ，则四边形ABCD的面积为：

例1 （2013福建卷，理7）在四边形ABCD中＝（1，2）＝（－4，2），则该四边形的面积为（ ）

解 由上面的四边形面积公式即得四边形ABCD的面积为5，故选C.

文［2］借助两个引理并通过伸缩变换求得结果，而利用上述四边形面积公式则思路清晰，较易获解.

解 如图所示，由椭圆的几何性质知，其内接平行四边形ABCD的对角线的交点必为原点，且总有一组对边所在直线的斜率是存在的（不妨设为AB边）.

设A（x1，y1）、B（x2，y2），边AB所在直线的方程为：y＝kx＋t则C（－x1，－y1），D（－x2，－y2），所以＝ （2x1，2y1）＝ （2x2，2y2）

（a2k2＋b2）x2＋2a2ktx2＋a2t2－a2b2＝0，

由根与系数的关系知：

于是由四边形面积公式得平行四边形ABCD的面积为：

当且仅当m＝即，亦即a2k2＋b2＝2t2时取等号.

故椭圆内接平行四边形的最大面积为2ab.

1 编写组数学5（必修）［M］.普通高中课程标准试验教科书（北师大版）（48）

2 杨先义.数学问题解答［J］数学通报，2013，2，64