Thompson 问题的一个推广

林绍华

(宜昌市第一中学，湖北 宜昌443000)

Thompson 的一个经典定理如下．

定理1 设G是有限群且p素数．假定α∈Aut(G)且αp=1．如果α 固定点自由作用在G上，那么G是幂零群．

本文对上述定理进行了推广并得到如下结论．

定理2 设G是有限群且p是素数．假定α∈Aut(G)且αp=1．如果对任意的g∈G，有ggα…gαp－1=1，那么G幂零．

证明 假设结论不真且G是极小阶反例．设S = G ×| H，这里H=〈α〉．

第1 步:若1＜N◁G且Nα=N(即N是α－不变且在G中正规，或者N在S中正规)，那么N和G≠N幂零(简单)．

第2 步:Z(G)=1．否则，假设1＜Z(G)＜G．由第1 步，G≠Z(G)幂零，从而G幂零，矛盾．

第3 步:G非可解．

由第1 步，G是特征单群．现在设G可解．设Q在S中正规使得G≠Q是S的主因子．那么G≠Q是初等交换r－群对某个素数r．设|G/Q|=rn．由下面几步导出矛盾．

第3．1 步．Q是初等交换q－群对某个素数q．

由前Qα－不变，从而由第1 步Q幂零(同文献［1］定理7．7 的证明)．

第3．2 步． |G/Q|=p．

现在设r≠p．写且假设使得且

那么得到:

由于r≠p，得到一个矛盾．于是无固定点作用在上，那么由命题是Frobenius 群，其核为对s∈S且g∈Q，定义:

于是Q是－模．对g∈Q，考虑设:

因此有:

因此:

因为r≠q和Q交换，从而Q≤Z(G)(注意))，因此由第2 步，得到一个矛盾．于是p=r，从而易得|G/Q|=p．

设P＊∈Sylp(S)且设P=G∩P*．应用第3．2 步，|P|=p，即P=〈x〉，这里x是p阶元．

第3．3 步．α 和x无固定点的作用在Q上．

假设存在g∈Q满足g≠e且gα=g，那么:

所以p=q，因此G幂零，矛盾．

另一方面，假设g∈Q满足gx=g．那么g∈Z(QP)=Z(G)={e}，从而完成了证明．

显然，〈α，x〉是S的初等交换子群．那么容易看到〈α，x〉不能无不动点的作用在Q上．由前α 和x无不动点的作用在Q上(由第3．3 步)，因此存在元素y=αixj满足0＜i，j＜p使得y中心化Q的非单位元，记为g．可以让α;x由αi，xj代替．所以可以假定y=αx．因此有:

所以p=q，于是G非可解．

第3、4 步．最后的矛盾．

证明同文献［1］定理7．7．2

［1］ Mingyao Xu，Jianhua Hang，Huilin Li，et al．A course of nite groups II［M］．Science Prees，2001．

［2］ Mingyao Xu． A course of nite groups I［M］．Science Prees，1999．

［3］ Chen G．On Thompson's Conjecture［D］．Chengdu:Sichuan University，1994．

［4］ Conway J H．Atlas of Finite groups［M］．New York:Oxford University Press，1985．