高等数学教学中启发式教学的认识与应用

李治飞

（西安建筑科技大学 理学院，陕西 西安 710055）

1 启发式教学

启发式教学不应被理解为一种具体的教学方法或教学技巧，而应是一种以启发式为主的教学指导思想.凡是从学生的实际出发，能够有效地调动学生学习的积极性、主动性，培养学生学习的兴趣及求知欲，激发学生提出问题、解决问题的热情，引导学生通过自己积极的努力去获取知识和发展能力的任何教学方法及教学手段都应被视为启发式教学.

其宗旨是以学生为教学活动的主体，采用能够激发学生学习的积极性、主动性、创造性的教学方法，使学生学会思考、学会学习，以达到培养学生分析问题、解决问题的能力以及提高学生专业素质的教学目的.

启发式教学认为教学过程是一种双向活动，是在教与学两者的互动中得以实现的.在其过程中教师的主要责任在于诱发、引导学生思考问题、解决问题的内在动力以激发学生学习的兴趣和求知的欲望，从而使他们能够积极主动地投入到教学活动中去.学生作为教学活动的主体，在教师的引导、启发下，通过自己独立的、积极主动的思维活动来获取知识、提高能力.因此，启发式教学的主要特点就是：教师仅是教学过程中的组织者、指导者，学生才是教学过程中的主体，一切教学活动都是以学生的需求为出发点，学生对知识的获取能力的提高必须通过自身积极的、主动的思维活动来得以实现.

与之相反的是注入式的教学指导思想，它是仅从教师的主观愿望出发，采用“填鸭式”的教学方法，简单地使教学变成了一堆概念、知识的罗列和注入，学生只有被动地接受和记忆.这不仅使学生对所学的内容难以理解、消化，更主要的是它压制了学生学习的积极性和主动性，扼杀了学生学习的兴趣和创造力，阻碍了学生的全面发展.

启发式教学对于数学课的课堂教学尤为重要.首先，这是由数学教学内容所决定的.数学教学内容最主要的特点是具有高度的抽象性，这种高度抽象的教学内容使得数学学习只能在教师的指导下，有计划、有组织的在课堂上进行，数学课堂教学几乎就是数学教育的唯一途径，所以在数学课堂教学中如何采用启发式教学直接决定着数学教学质量的高低.其次，这是由数学教学的目的所决定的.数学教学目的中最重要的就是培养学生的数学思想方法及应用数学方法的能力，即“教学生学会思考”.只有采用启发式教学，以多种形式激发学生数学学习的兴趣和求知欲，才能使学生积极地、主动地参与到数学教学活动中去，实现“要我学”到“我要学”的转变，克服对教师的依赖性，培养学生独立思考问题、解决问题的能力，从而使学生在学会数学知识的同时逐渐地了解、领悟、掌握数学的思想方法，提高思考问题、分析问题、解决问题的能力，实现数学教学的根本目标.

2 如何实施启发式教学

实施启发式教学的基本步骤是：根据学生的实际情况，按照思维流程设计相应的启发式问题，依据所设计好的问题启发学生进行思考，并逐渐过渡到让学生自己提出问题，进行自我启发.那么，在数学课堂教学中应该如何有效地实施启发式教学呢？即在数学课堂教学中教师应该如何进行有效的组织和有效的指导呢？笔者根据多年的教学经验从备课、授课、课后作业这三个教学环节来谈一些自己对实施启发式教学的体会.

2.1 备课

如何根据每次不同的教学内容及学生的具体情况设计授课思路、设计相应的启发式问题是能否有效地实施启发式教学的关键所在，因此，备课就成为了整个教学过程中最重要的环节.在备课的过程中应该做好以下三个方面的工作，其一，教师对所要教授的内容以及其在本课程中的重要性等要有着非常深刻的理解和整体上的把握，这样才能把所授内容处理地既简单明确、又重点突出；其二，在设计教案时要特别注重对教学内容中的数学思想方法的挖掘、整理和讲解，只有不断地、有意识地突出数学思想方法的讲解，才能使学生从中逐渐地学会应该如何思考问题、如何解决问题，进而逐渐地形成正确的数学思维方式；其三，认真做好教案的设计工作，教案的设计可分为以下几个部分：⑴背景介绍；数学不是一些定义、定理、公式以及大量习题的罗列和堆积，而是有血、有肉的生命体，在其发展史中有许许多多令人感动的人物和故事，每一个数学概念从产生到成熟都经历了许多人的不懈努力，作为数学教师有义务和责任把这些背景资料介绍给学习数学的学生，这些名人轶事不仅有利于提高学生学习数学的兴趣、调动其学习数学的积极性和主动性，而且有利于消除学生对数学学习的畏难情绪.⑵提出问题：根据不同的教学内容，合理创设问题情景、激发学习动机是启发式教学的关键，在设计问题时应将所授内容尽可能用一个主要问题连接起来，而且所提问题要合理恰当、要简明易懂，要使学生在上课开始时就明白这堂课要讨论的主要问题是什么.⑶拟定解决问题的思路：对于主要问题按照数学基本思想方法，拟定解决问题最科学、最合理的方法，其内容可包括两个部分，其一，介绍解决问题的基本思路以及本节的主要内容和重点所在，其二，阐述在解决问题过程中用到的主要的数学思想方法.⑷推广与应用：对所讨论问题进行推广，给出多种不同的形式及具体的应用实例.（5）回顾总结：对本节课中所讨论的主要问题、主要内容以及用到的主要思想方法进行简明的总结，以突出重点.

2.2 授课

在运用“启发式”教学的授课过程中，教师应把教学的重点放在问题的引入、分析以及解决的思路上，创造各种问题情景，鼓励、引导学生进行独立思考，使学生在独立思考的过程中获取所学的知识同时提高分析问题、解决问题的能力，所以在授课过程中应注意到以下几点：⑴要适当地提出问题，鼓励学生不断地去思考、去判断，使教学始终在教与学的互动中进行；⑵对于所提出的问题，不要急于给出答案，要给出时间让学生进行思考；⑶要掌握学生的实际情况，要把自己放在学生的位置上，了解他们在学习中的困难和期望所在，这样才能进行有效地指导；⑷注重思想方法的挖掘、整理和讲解，有意识地培养学生的数学思维方式；⑸要主次分明，对主要问题、难点一定要讲透、讲明白，对次要问题尽量少讲，甚至不讲，让学生课后自己去看.

2.3 布置课后作业

教学是由教与学这两个部分组成的，缺一不可，仅通过课堂上的讲解是不可能使学生完全理解并掌握所学内容的，因此要重视课后练习题、思考题的布置和批改，只有通过适当的解题训练才能使学生逐渐地理解、消化吸收所学知识，才能使学生学会如何应用所学知识来解决具体问题.但布置的作业一定要适量、有针对性，并结合一些思考题，使学生每做一题都有所提高.另外，要鼓励学生多总结、多思考.

3 实例

下面以“微分中值定理”的教学课为例，谈一下笔者对实施启发式教学的一些具体做法.

题目：微分中值定理

（一）问题的提出

1、主要讨论的问题：当f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导时，f(x)所具有的特性是什么？

2、问题的引入

图1

图2

[问题情景]教师：在前面我们已经讨论过当f(x)在[a,b]上连续时，它具有哪些性质呢？学生：最值定理及介值定理；教师：现在，当再加入“f(x)在(a,b)内可导”的条件后，f(x)又具有哪些特性呢（做图1）？学生：…；教师：首先，考虑函数f(x)在[a,b]上的平均变化率是多少呢？学生：，即为直线AB的斜率KAB；教师：现在由于f(x)在(a,b)内每一点处均可导，那么从几何上看会有什么性质呢？学生：f(x)在(a,b)内每一点处均有切线；教师：因此，注意到当动点x从A移动到B时，动点x处的切线斜率——即在点x处的瞬间变化率f'(x)一定为连续变化的，这样在(a,b)内每一点处的f'(x)值可不可能始终大于或小于它的平均值KAB呢？学生：不可能；教师：所以在(a,b)内一定有一些点上的f'(x)值会大于等于它的平均值KAB，而另一些点上的f'(x)值会小于等于它的平均值KAB，并且注意到f'(x)值是连续变化的，因此至少存在一点ξ∈(a,b)，使得会f'(ξ)会如何呢？（让学生给出结论）学生：，即在该点处切线的斜率等于KAB；教师：因此我们有以下的结论（做图2）.

3、问题的结论

拉格郎日中值定理：设f(x)在[a.b]上连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=

（二）如何证明拉格郎日中值定理？

【证明思路】对于拉氏定理的证明，我们将采用“一般——特殊——一般”的思想方法，首先证明拉氏定理的特例，即拉氏定理中当f(a)=f(b)时定理成立，然后再利用“构造辅助函数法”证明拉氏定理的结论.因此，这一节课要学习的主要内容和思想方法为：

1、本节的主要内容：⑴拉氏定理的特例——罗尔定理及其证明；⑵拉氏定理及其证明；⑶拉氏定理的推广形式；⑷拉氏定理的应用.

2、本节采用的思想方法：⑴一般——特殊——一般；⑵构造辅助函数法.

（三）拉格郎日中值定理的证明

1、罗尔中值定理及其证明

罗尔定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=0.（图3）

图3

[问题情景]教师：为什么要先证明罗尔定理呢？即罗尔定理的证明有哪些方便之处呢？学生：…；教师：注意到在罗尔定理中要找的点ξ一定会出现在哪些点上呢？学生：极大、极小值点；教师：准确地说ξ一定为最大值点或最小值点，为什么？学生：…；教师：首先是否存在最大值点或最小值点，为什么？学生：当然存在，因为f(x)在[a,b]上连续；教师：其次，最值点上的导数值一定为…；学生：零；（罗尔定理的具体证明过程略）教师：注意到罗尔定理的条件是充分的，但不是必要的，试举例说明（课后自己去做）.

2、拉格郎日中值定理的证明：

[问题情景]教师：如何用罗尔定理来证明拉氏定理呢？我们在用特殊形情来证明一般形情时，常用的方法就是“构造辅助函数法”，在前面的课中我们已经用过，在哪里用过呢？学生：用零点定理来证明介值定理时.

证明令辅助函数

因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则有F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，F(a)=F(b)=0，所以至少存在一点ξ∈(a,b)，使得F'(x)=0，即

[问题情景]教师：在证明过程中关键的是…；学生：如何构造辅助函数？教师：构造辅助函数是应用罗尔定理的关键，其方法为：首先将结论化为:

（四）拉格郎日中值定理的推广及应用

1、推广形式：

柯西中值定理：设 h(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且对(a,b)内任一点 x有 g'(x)≠0，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使

注：当g(x)=x时，即为拉格郎日中值定理.

2、拉格郎日中值定理的应用

题型1：证明至少存在一点ξ，使f'(ξ)满足某一等式.

例证明柯西中值定理

分析 关键在于如何构造辅助函数.首先将结论化为:

适当取C的值，使F(a)=F(b)=0.然后，F(x)在[a,b]上应用罗尔中值定理即可证明柯西中值定理.

证明略

题型2：证明不等式

例证明当x>0时，有l n(1+x)

[问题情景]教师：如何利用中值定理证明不等式呢？学生：…；教师：中值定理讨论一个在[a,b]上连续，在(a,b)内可导的函数的特性，因此，应用中值定理证明不等式的关键就在于找到一个函数f(x)及区间[a,b]，然后应用拉氏中值定理.

证明取f(x)=l n(1+x)(x>0).因为f(x)在[0,x]上连续、可导.所以存在 ξ∈(0，x)，使得

（五）总结

1、在证明中值定理时用到的思想方法：⑴一般——特殊——一般；⑵构造辅助函数.

2、拉格郎日中值定理的重要性.

①揭示了函数在区间两个端点上的值与区间内某一点上值之间的联系.类似的定理还有牛顿—莱布尼兹定理、格林公式等.

②拉氏定理被拉格郎日本人称为有限增量定理，这是因为当f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导时，对任一点 x∈(a,b)，f(x)在(x,x+△x)或(x+△x,x)上应用拉格郎日中值定理，可得f(x)在x处自变量的增量△x与函数的增量△y之间的一个重要的结论：

△y=f'(ξ)△x(ξ 介于 x 与 x+△x 之间).比较微分公式：△y≈f'(x)△x，从而使学生理解到格郎日中值定理的重要性.

（六）思考题、作业（略）.

在整个讲课过程中问题明确、重点突出、强调解决问题的思想方法，使学生不断地去思考，使教学在教与学的互动中进行，同时使学生认识到非常重要的定理可能往往来自于直观的感觉，从而树立发现问题、解决问题的信心，培养科学的思维方法.

〔1〕周春荔，张景斌.数学学科教育学[M].北京：首都师范大学出版社,2001.1.

〔2〕徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社,1983.4.

〔3〕同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社,1996.12.