对一道高考动量计算题的分析

许敬川

(天津市耀华中学，天津 300040)

高考力学综合题通常涉及动量、能量问题，且该类问题往往解法不唯一，这就对命题的严谨性提出了一定的要求，需综合考虑各种方法，使它们结果一致.由于各种方法的难易不同，使得命题者可以用同一个模型自由控制试题的难度.

图1

这是2008年全国高考理综Ⅰ卷的一道动量计算题，题目如下.

图1中滑块和小球的质量均为m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球于滑块上的悬点为O，由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l.开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止.现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘住物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角θ=60°时小球达到最高点.求:

(1)从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量;

(2)小球从释放到第1次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小.

1 第(1)问的高考标准答案

(1)设小球第1次到达最低点时，滑块和小球速度的大小分别为v1、v2，则机械能守恒定律得

小球由最低点向左摆动到最高点时，则机械能守恒定律得

联立(1)、(2)式得

设所求的挡板阻力对滑块的冲量为I，规定动量方向向右为正，则有I=0-mv1.解得

本题给出的60°的条件可有可无，因为我们分析在小球到达最低点之前，滑块和小球组成的系统的水平总动量是守恒的.今另解如下:

(1)设小球第1次到达最低点时，滑块和小球速度的大小分别为v1、v2，由机械能守恒定律得

在小球第1次到达最低点之前，滑块和小球组成的系统的水平总动量是守恒的

联立(1)、(2)式得

设所求的挡板阻力对滑块的冲量为I，规定动量方向向右为正，则有I=0-mv1.

分析:本题体现了高考命题的严谨性，自洽得很好，给出的60°的条件是为了降低考题的难度，对系统水平动量守恒不太熟悉的学生，也可以借助60°的附加条件用机械能守恒解决，各种方法所体现的结果一致.

2 若本题给出滑块和小球的质量分别为m1和m2，也可以分别借助2种方法

解法1:(1)设小球第1次到达最低点时，滑块和小球速度的大小分别为v1、v2，由机械能守恒定律得

小球由最低点向左摆动到最高点时，则由机械能守恒定律得

联立(1)、(2)式得

设所求的挡板阻力对滑块的冲量为I，规定动量方向向右为正，则有I=0-m1v1.

解法2:(1)设小球第1次到达最低点时，滑块和小球速度的大小分别为v1、v2，则由机械能守恒定律得

在小球第1次到达最低点之前，滑块和小球组成的系统的水平总动量是守恒的，故有

联立(1)、(2)式得

设所求的挡板阻力对滑块的冲量为I，规定动量方向向右为正，则有I=0-m1v1.

评析:2种解法结果的表达式截然不同，另解为通式.然而仔细观察不难发现若m1=m2，两种解法的结果完全一致，且与原题相同.再次说明60°的附加条件不是随意给的，而是只符合2者质量相同情况下的实际结果.若m1和m2取每组不同值时，都会有一个相应的最大摆动角度所对应.

3 若本题只给出滑块的质量m1或小球的质量m2

因为已知条件不足，则只借助水平方向动量守恒不可解决，必须给出最大摆动角度θ.

4 结论

综合全文，可以发现物理题目中给出的有些条件是可以不利用的，但是不同方法得到的结果必须一致，这就要求命题者在各种方法的衡量中寻求符合实际的真正条件，以达到统一.