同一道“菜”，为何“味道”迥异

夏永立

【研究背景】

在一次教研活动中我听了一节小学数学公开课 “三角形的内角和”，其中的一个教学环节引起了我的注意。执教教师期望学生通过度量发现三角形的内角和等于180°，便让每个学生随意画一个三角形，用量角器量出三个内角的度数，然后把各个角的度数加起来。然而，大部分学生测量的结果都不是180°。教师就通过投影展示少数学生测量结果是180°的“作品”，然后得出结论。不料，有的学生开始反驳：“老师，大多数同学的三角形都不是180°，你为什么却同意少数几个同学的结果？”教师连忙解释道：“因为你们的测量存在误差，如果你们测量准确，也会得到三角形内角和为180°。”然而学生却不依不饶：“就算我们测量准确，得到三角形的内角和为180°，我们班上30多个同学测量的也是成千上万个三角形中的很少一部分，这怎么就能说明所有三角形的内角和都是180°呢？”这时候教师无言以对了，只好说：“等你们到中学后就可以证明三角形的内角和为180°，现在你们只要记住这个结论……”这一教学片段引起了我的思考：为何课堂会出现如此“尴尬”的局面？难道小学数学教学只要让学生记住结论？课堂中的探究就是一种摆设？中小学数学教学有哪些差异？其实，“三角形内角和”在中小学的数学教材里面都出现过，这使我对这一课题产生了浓厚的兴趣。课后，我通过研读教材，发现多种版本的小学数学教材都是让学生用量、折、拼的方法来探究三角形的内角和；通过访谈，发现多数小学数学教师不知道中学数学教材里这一内容是如何编排的，更不知道中学教师是如何进行教学的。为了便于研究，我将这位小学数学教师的课例和中学数学课堂中的常规教例呈现出来，从中比较中小学数学教学的差异，从做好中小学数学的教学衔接的角度提出自己的几点思考和建议。

【课例呈现】

※“三角形内角和 ”（小学版）

1.创设情境。

出示多媒体课件，讲述小故事：这是一个直角三角形，∠1、∠2、∠3是它的三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，∠2突然发起脾气来，它指着∠1说：“你凭什么度数最大？我也要和你一样大！” ∠1说：“老弟，这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”∠2很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？学了今天的数学知识以后，你们就会知道它们三兄弟之间的关系了…… （板书课题：三角形的内角和）

2.合作学习。

（1）小组分工：测量、指导、记录；

（2）用量角器测量你们小组内的三角形每个内角的度数，并记录下来；

（3）最后要求计算出三个内角的和。

3.验证三角形内角和。

（1）学生汇报、展示验证方法；

（2）教师演示各种三角形内角和转化为平角的过程。

4.得出结论：任何三角形的内角和都是180°。

※“三角形的内角和”（中学版）

1.做一做：在纸上画一个三角形并将它的内角剪下，试着拼一拼，能有什么发现？

2.在独立拼接后，小组交流拼接的方法，发现结论。

（让学生通过拼接、观察，初步得出： 三角形的内角和等于180°）

3.教师选定两种有代表性的拼接方法展示。

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■

4.师：观察上述两种拼接方法，你能出说明“三角形内角和等于180°”的这个结论正确的方法吗？

（1）师适时点拨：在图1中，将∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角。在我们的证明中，如何把∠B和∠C“移动”到∠A的左右呢？谁能帮助我们把一个角大小不变地移动到一个新的位置呢？（辅助线l自然产生）

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图3

（2）学生独立思考后，试着证明，再交流证法。

（3）师：根据图2，你怎样说明三角形内角和等于180°这个结论？（有图1的证法，学生很容易找出图2 的证法，顺其自然地添加辅助线）

■

图4

5.师：还有别的拼接方法吗？能根据你的拼接方法证明三角形内角和等于180°吗？学生相互交流、讨论。（一题多解）

6.教师介绍辅助线及其作用，重点引导学生总结为什么要添加这条平行线，它在不同的证明方法中起到一个什么作用。（多法归一）

【对比分析】

此课小学版的教学设计中，采用“生成式”的教学方式，在学生原有基础上展开教学，改善学生的学习方式，能够充分调动学生学习的积极性。在教学中教师灵活运用多种教学方法，给予学生自主学习的机会，提高学生自主学习的能力。以上教学过程，教学层次清晰，但教师面对课堂的“意外生成”却难以应对，表现出自身数学素养的缺失。虽然课堂开放，但却少了应有的“数学味”，不利于学生数学思维的发展，更不利于学生的后续学习。

从“三角形的内角和”中学版教学设计来看，教师让学生在纸上画三角形并将它的内角剪下，通过剪、切、拼等操作活动，引导学生从实验出发，根据观察、实验的结果，大胆猜想三角形内角和等于180°，然后让学生探索、说明这一结论的正确性，也就是引导学生去进行“证明”。“证明”成为探索活动的自然延续和必要发展，由“合情推理”到“演绎推理”过渡自然，思路清晰，十分有利于学生对“证明”的全面理解。在组织学生探索证明的过程中，引导学生根据不同的拼接方法，寻找不同的证明方法，一题多解，并进行适当的比较和讨论，这有利于开阔学生的视野，有助于激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合证法的信心，在这一过程中学生演绎推理能力也自然得到发展和提高。在教学中，教师引导学生探究发现 “为什么添加这条平行线？平行线在不同的证明方法中起到了怎样的一个共同作用？”从“一题多解”到“多法归一”，引导学生对数学方法规律的总结，对提高学生解决问题的能力大有裨益。endprint

同一教学内容，在小学采用操作实验的教学方式，而在中学却运用推理证明的方法，这可能考虑到学生的身心发展特点和学生的思维发展规律。但我认为，在学生可能接受的情况下，小学数学教师要创造性地使用教材，不能将教学只停留在动手实践的层面上。因此，要努力向中学数学教师学习，在教学中重视学生推理能力的培养，让学生经历从特殊到一般的思维历程。

教师先从长方形的内角和是360度入手（在小学就可以把它看作公理），将它分成两个完全一样的直角三角形，让学生发现直角三角形的内角和是180度；再引导学生将钝角三角形和锐角三角形分别通过作高来分成两个直角三角形，这样得出其内角和也是180度；最后，让学生归纳出任何三角形的内角和都是180度。有教师认为这样的教学其实是在“循环论证”，但我认为在小学阶段是可行的，学生完全可以接受，这有利于学生的后续学习，也让小学的数学课散发出浓浓的“数学味”。

【问题思考】

“三角形的内角和”这一教学内容，在中小学的教材里都有，但教师教学设计的思路却不同。同一道“菜”，为何味道迥异？中小学数学教师如何相互学习，才能更好地做好中小学数学教学的衔接？我通过调查、访谈学生，了解到有相当部分初中学生感到中学数学的内容多、难度大，这就使学生感到学习数学困难，从而产生畏惧感，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于小学和初中数学教学上的衔接问题。要解决这一问题，必须靠中小学教师共同努力。

1.学习兴趣的衔接问题

学习兴趣是对学生学习活动或学习对象的一种力求趋近或认识的倾向。如对数学有兴趣，则能唤起学生的求知欲，能推动学生去克服学习上的困难。小学版的教学设计中，教师通过“创设情境”来激发学生的学习欲望，放手让学生用自己喜欢的方法探索，但感觉整节课没有重点，这对学习有困难的学生就意味着放弃。在中学版教学设计中，教师采取“以旧引新”的方式引入，为学生架起了“旧知”与“新知”的桥梁。由于中学教师更多关注学生逻辑思维能力的培养，把数学课堂教学变得枯燥无味，让不少学生听到数学就头痛，对数学学习 “望而生畏”。因此，小学数学教师要更加关注学困生，使学生树立学习的信心，进而培养学生学习数学的兴趣；中学数学教师要使课堂教学方式变得灵活多样，注重激发学生的学习兴趣，这是一项极其重要的衔接工作。

2.教学内容的衔接问题

从整体上讲，小学数学是中学数学的基础，中学数学是小学数学的延伸和发展。小学教师要重视基础知识和技能的教学，为中学数学的教学作好孕伏、渗透和铺垫的工作。从这两节课中可以看到，小学数学课堂是通过让学生量一量、画一画、拼一拼、折一折得到一些几何概念，往往侧重于计算，缺少逻辑论证，而学习中学平面几何的关键在于需要逻辑推理论证的能力。可见，在小学数学教学中，需要充分挖掘教材里潜在的逻辑推理素材，培养学生的推理能力；中学数学教学也要基于学生已有的知识背景和生活经验，而不能“另起炉灶”。

3.教学方法的衔接问题

目前，“衔接”上最大的问题是教学方法的严重脱节。从这两节课中，我们可以发现：小学教学进度慢、坡度缓，而中学教学进度快、坡度大；小学重感性知识，口头回答问题多，而中学重理性知识，书面回答多；小学强调直观演示、偏重形象思维，而中学强调推理论证，偏重抽象思维。由于长期受到小学教学方法的影响，许多学生刚进中学就感到不适应。因此，小学教师也要不断了解中学数学课堂中采用的教学方法，使学生的后续学习更有“后劲”。而小学采用“生成式”教学，灵活运用多种教学方法，使学生学习的积极性得到充分调动，这种教学方法对于中学数学教师来说，也是值得学习和借鉴的好方法。

【几点建议】

作为一名小学数学教师，我认为要想更好地搞好数学教学，数学教师、教研部门和教材编写者就要不断改进，从而形成合力，使中小学数学教学真正实现“无缝对接”。

1.中学数学教师的课堂教学，多从学生的后续知识发展考虑，往往通过设置不同的变式练习来提高不同学生的学习水平，对于在学生原有基础上发展教学重视不够。作为一名中学数学教师要不断思考：学生以前都学过哪些知识？哪些知识可以为这节课服务？要不断研究小学数学教材，能够从学生的认知基础上去设计课堂教学。小学教师也要研读中学数学教材，整体把握教材，了解小学数学教材中哪些核心知识对学生的后续学习更具有价值。

2.教研部门要多开展中小学数学教学衔接的主题教研活动，为一线教师搭建相互学习和交流的平台。中小学教师要走进对方的课堂，了解各自的教学特点。中学教师要学习小学教师如何调动学生学习的积极性，灵活调控课堂，合理利用课堂中的生成资源。小学教师要学习中学数学教师课堂教学的严谨性。

3.目前，许多版本的中小学教材缺乏系统性。因此，建议中小学的教材编写组成员在一起编写教材，避免教学内容上的重复，从而构建科学合理的教学体系。

（责编 金 铃）endprint

同一教学内容，在小学采用操作实验的教学方式，而在中学却运用推理证明的方法，这可能考虑到学生的身心发展特点和学生的思维发展规律。但我认为，在学生可能接受的情况下，小学数学教师要创造性地使用教材，不能将教学只停留在动手实践的层面上。因此，要努力向中学数学教师学习，在教学中重视学生推理能力的培养，让学生经历从特殊到一般的思维历程。

教师先从长方形的内角和是360度入手（在小学就可以把它看作公理），将它分成两个完全一样的直角三角形，让学生发现直角三角形的内角和是180度；再引导学生将钝角三角形和锐角三角形分别通过作高来分成两个直角三角形，这样得出其内角和也是180度；最后，让学生归纳出任何三角形的内角和都是180度。有教师认为这样的教学其实是在“循环论证”，但我认为在小学阶段是可行的，学生完全可以接受，这有利于学生的后续学习，也让小学的数学课散发出浓浓的“数学味”。

【问题思考】

“三角形的内角和”这一教学内容，在中小学的教材里都有，但教师教学设计的思路却不同。同一道“菜”，为何味道迥异？中小学数学教师如何相互学习，才能更好地做好中小学数学教学的衔接？我通过调查、访谈学生，了解到有相当部分初中学生感到中学数学的内容多、难度大，这就使学生感到学习数学困难，从而产生畏惧感，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于小学和初中数学教学上的衔接问题。要解决这一问题，必须靠中小学教师共同努力。

1.学习兴趣的衔接问题

学习兴趣是对学生学习活动或学习对象的一种力求趋近或认识的倾向。如对数学有兴趣，则能唤起学生的求知欲，能推动学生去克服学习上的困难。小学版的教学设计中，教师通过“创设情境”来激发学生的学习欲望，放手让学生用自己喜欢的方法探索，但感觉整节课没有重点，这对学习有困难的学生就意味着放弃。在中学版教学设计中，教师采取“以旧引新”的方式引入，为学生架起了“旧知”与“新知”的桥梁。由于中学教师更多关注学生逻辑思维能力的培养，把数学课堂教学变得枯燥无味，让不少学生听到数学就头痛，对数学学习 “望而生畏”。因此，小学数学教师要更加关注学困生，使学生树立学习的信心，进而培养学生学习数学的兴趣；中学数学教师要使课堂教学方式变得灵活多样，注重激发学生的学习兴趣，这是一项极其重要的衔接工作。

2.教学内容的衔接问题

从整体上讲，小学数学是中学数学的基础，中学数学是小学数学的延伸和发展。小学教师要重视基础知识和技能的教学，为中学数学的教学作好孕伏、渗透和铺垫的工作。从这两节课中可以看到，小学数学课堂是通过让学生量一量、画一画、拼一拼、折一折得到一些几何概念，往往侧重于计算，缺少逻辑论证，而学习中学平面几何的关键在于需要逻辑推理论证的能力。可见，在小学数学教学中，需要充分挖掘教材里潜在的逻辑推理素材，培养学生的推理能力；中学数学教学也要基于学生已有的知识背景和生活经验，而不能“另起炉灶”。

3.教学方法的衔接问题

目前，“衔接”上最大的问题是教学方法的严重脱节。从这两节课中，我们可以发现：小学教学进度慢、坡度缓，而中学教学进度快、坡度大；小学重感性知识，口头回答问题多，而中学重理性知识，书面回答多；小学强调直观演示、偏重形象思维，而中学强调推理论证，偏重抽象思维。由于长期受到小学教学方法的影响，许多学生刚进中学就感到不适应。因此，小学教师也要不断了解中学数学课堂中采用的教学方法，使学生的后续学习更有“后劲”。而小学采用“生成式”教学，灵活运用多种教学方法，使学生学习的积极性得到充分调动，这种教学方法对于中学数学教师来说，也是值得学习和借鉴的好方法。

【几点建议】

作为一名小学数学教师，我认为要想更好地搞好数学教学，数学教师、教研部门和教材编写者就要不断改进，从而形成合力，使中小学数学教学真正实现“无缝对接”。

1.中学数学教师的课堂教学，多从学生的后续知识发展考虑，往往通过设置不同的变式练习来提高不同学生的学习水平，对于在学生原有基础上发展教学重视不够。作为一名中学数学教师要不断思考：学生以前都学过哪些知识？哪些知识可以为这节课服务？要不断研究小学数学教材，能够从学生的认知基础上去设计课堂教学。小学教师也要研读中学数学教材，整体把握教材，了解小学数学教材中哪些核心知识对学生的后续学习更具有价值。

2.教研部门要多开展中小学数学教学衔接的主题教研活动，为一线教师搭建相互学习和交流的平台。中小学教师要走进对方的课堂，了解各自的教学特点。中学教师要学习小学教师如何调动学生学习的积极性，灵活调控课堂，合理利用课堂中的生成资源。小学教师要学习中学数学教师课堂教学的严谨性。

3.目前，许多版本的中小学教材缺乏系统性。因此，建议中小学的教材编写组成员在一起编写教材，避免教学内容上的重复，从而构建科学合理的教学体系。

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同一教学内容，在小学采用操作实验的教学方式，而在中学却运用推理证明的方法，这可能考虑到学生的身心发展特点和学生的思维发展规律。但我认为，在学生可能接受的情况下，小学数学教师要创造性地使用教材，不能将教学只停留在动手实践的层面上。因此，要努力向中学数学教师学习，在教学中重视学生推理能力的培养，让学生经历从特殊到一般的思维历程。

教师先从长方形的内角和是360度入手（在小学就可以把它看作公理），将它分成两个完全一样的直角三角形，让学生发现直角三角形的内角和是180度；再引导学生将钝角三角形和锐角三角形分别通过作高来分成两个直角三角形，这样得出其内角和也是180度；最后，让学生归纳出任何三角形的内角和都是180度。有教师认为这样的教学其实是在“循环论证”，但我认为在小学阶段是可行的，学生完全可以接受，这有利于学生的后续学习，也让小学的数学课散发出浓浓的“数学味”。

【问题思考】

“三角形的内角和”这一教学内容，在中小学的教材里都有，但教师教学设计的思路却不同。同一道“菜”，为何味道迥异？中小学数学教师如何相互学习，才能更好地做好中小学数学教学的衔接？我通过调查、访谈学生，了解到有相当部分初中学生感到中学数学的内容多、难度大，这就使学生感到学习数学困难，从而产生畏惧感，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于小学和初中数学教学上的衔接问题。要解决这一问题，必须靠中小学教师共同努力。

1.学习兴趣的衔接问题

学习兴趣是对学生学习活动或学习对象的一种力求趋近或认识的倾向。如对数学有兴趣，则能唤起学生的求知欲，能推动学生去克服学习上的困难。小学版的教学设计中，教师通过“创设情境”来激发学生的学习欲望，放手让学生用自己喜欢的方法探索，但感觉整节课没有重点，这对学习有困难的学生就意味着放弃。在中学版教学设计中，教师采取“以旧引新”的方式引入，为学生架起了“旧知”与“新知”的桥梁。由于中学教师更多关注学生逻辑思维能力的培养，把数学课堂教学变得枯燥无味，让不少学生听到数学就头痛，对数学学习 “望而生畏”。因此，小学数学教师要更加关注学困生，使学生树立学习的信心，进而培养学生学习数学的兴趣；中学数学教师要使课堂教学方式变得灵活多样，注重激发学生的学习兴趣，这是一项极其重要的衔接工作。

2.教学内容的衔接问题

从整体上讲，小学数学是中学数学的基础，中学数学是小学数学的延伸和发展。小学教师要重视基础知识和技能的教学，为中学数学的教学作好孕伏、渗透和铺垫的工作。从这两节课中可以看到，小学数学课堂是通过让学生量一量、画一画、拼一拼、折一折得到一些几何概念，往往侧重于计算，缺少逻辑论证，而学习中学平面几何的关键在于需要逻辑推理论证的能力。可见，在小学数学教学中，需要充分挖掘教材里潜在的逻辑推理素材，培养学生的推理能力；中学数学教学也要基于学生已有的知识背景和生活经验，而不能“另起炉灶”。

3.教学方法的衔接问题

目前，“衔接”上最大的问题是教学方法的严重脱节。从这两节课中，我们可以发现：小学教学进度慢、坡度缓，而中学教学进度快、坡度大；小学重感性知识，口头回答问题多，而中学重理性知识，书面回答多；小学强调直观演示、偏重形象思维，而中学强调推理论证，偏重抽象思维。由于长期受到小学教学方法的影响，许多学生刚进中学就感到不适应。因此，小学教师也要不断了解中学数学课堂中采用的教学方法，使学生的后续学习更有“后劲”。而小学采用“生成式”教学，灵活运用多种教学方法，使学生学习的积极性得到充分调动，这种教学方法对于中学数学教师来说，也是值得学习和借鉴的好方法。

【几点建议】

作为一名小学数学教师，我认为要想更好地搞好数学教学，数学教师、教研部门和教材编写者就要不断改进，从而形成合力，使中小学数学教学真正实现“无缝对接”。

1.中学数学教师的课堂教学，多从学生的后续知识发展考虑，往往通过设置不同的变式练习来提高不同学生的学习水平，对于在学生原有基础上发展教学重视不够。作为一名中学数学教师要不断思考：学生以前都学过哪些知识？哪些知识可以为这节课服务？要不断研究小学数学教材，能够从学生的认知基础上去设计课堂教学。小学教师也要研读中学数学教材，整体把握教材，了解小学数学教材中哪些核心知识对学生的后续学习更具有价值。

2.教研部门要多开展中小学数学教学衔接的主题教研活动，为一线教师搭建相互学习和交流的平台。中小学教师要走进对方的课堂，了解各自的教学特点。中学教师要学习小学教师如何调动学生学习的积极性，灵活调控课堂，合理利用课堂中的生成资源。小学教师要学习中学数学教师课堂教学的严谨性。

3.目前，许多版本的中小学教材缺乏系统性。因此，建议中小学的教材编写组成员在一起编写教材，避免教学内容上的重复，从而构建科学合理的教学体系。

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