中学数学“点到直线的距离”的教学设计

陶良胜

（芜湖县第一中学安徽·芜湖241100）

中学数学“点到直线的距离”的教学设计

陶良胜

（芜湖县第一中学安徽·芜湖241100）

数学课堂教学中，教师必须促使学生积极参与到教学中去，通过主动建构来学习数学，获的知识，因此数学课堂的教学设计至关重要。数学课堂教学设计首先要创设情境，建立数学模型，激发学生的兴趣和提高探索解决问题的能力；其次要教学中要凸显数学思维，提高学生的学习主动性；最后通过数学思想方法的提炼，来加深学生对知识概念的理解，促使学生数学思维了学习能力的提高。

中学数学 课堂教学 教学设计 教学方法

新课程标准指出：“要重视从学生的生活实践和已有知识中学习数学，理解数学。”在教学过程中，应让学生积极主动参与全过程，促进学生思维最大限度地得到发展，所以在课堂上如何让学生的思维动起来是首要任务。用建构主义的观点来看，一堂课的效果如何首先应当关注学生学得如何，因为知识是不能传递的，教师传递的只是信息，知识必须通过学生的主动建构才能获得。教师提出问题，为学生的探索活动提供一种可能与条件，促进了学生对知识的主动构建。

一、创设问题情境，建立数学模型，引发学生的学习主动性

本节课的开头部分，我是这样设计的：

第一步：用多媒体展示生活背景：电信局计划年底解决本地区新建小区P的电话通信问题，离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？让学生从熟知的生活中理解点到直线距离的定义和意义：点到直线的距离是点与直线上的所有点的距离中最小的。

第二步：针对此具体的实例，把生活问题数学化，通过地图，建立数学模型，把直线和点放在平面直角坐标系中，并设出它们的坐标，得到问题1：求点0（1，2）到直线l:2x+y+1=0的距离。

问题1可以通过提问的形式解决，设置符合最近发展区原则，是在学生已有知识的基础上建立的，学生用已有的直线的知识，包括两点距离公式、直线方程、求两条直线的交点等，通过自己的努力，绝大多数同学都是可以解决的。所以通过这两步的安排，使学生主动地解决了一个具体的问题，从中也体会到了学习的乐趣，引发了他们学习的主动性，继续探索，接受挑战。

二、巧设思辨性问题，凸显数学思维，提高学生的学习积极性

本节课的课型属于“问题教学”，学起于思，思起于疑。在组织教学的过程当中，以问题为中心和纽带，把问题贯穿在始终，使学生的学习过程成为感受、理解知识产生和发展的过程，把学习知识的过程变成学生自主探究的再发现、再创造的过程，进而培养学生的问题意识和科学精神。本节课的重点在于得到点到直线的距离公式，而在不断追问的过程当中，也达到了突出重点和分散难点的目的。

问题1的解决只是“浅尝”，我们还要进一步的“深究”。而有了问题1的基础，符合学生的认知规律，符合从具体到抽象的规律，此时乘胜追击，马上抛出问题2：求点0（x0+y0）到直线l:x+y+=0的距离。

本环节中，我是这样设计的：第一步：问题2提出后，给学生一点思考的时间，并找同学回答解题思路。因为问题1的解决已经给了明显的提示，大部分同学可以想到利用求垂足点Q的坐标的办法。这种办法记为解法1：直接法，解法1思路直接自然，学生易于接受。学生有此想法后，让他们动手计算，但只是让学生浅尝则止，体会一下计算的繁琐，（也可布置作为课后作业），从情感上理解“知难也可退”，也许“退一步海阔天空”。

第二步：学生有了对解法1的暂时避让后，思维又开始活动，愿意主动探究其他更优的解法。此时教师适时点拨，设计思辨性的小问题，不断地进行追问：

（1）既然解法1繁，那么繁在哪里？（学生不难发现难在求交点。）

（2）那么你有好的办法吗？（应该可以想到避开求交点。）

（3）线段0Q的长度可以直接求吗？（引导学生用平面几何的知识，用转化化归的数学思想，可以把线段放在图形中，而且一般是找三角形。在此过程中渗透“转化化归”的数学思想，以思想来指导行动。）

（4）如何构造三角形？（有前面两点间距离公式的推导，引导学生想到过点0作平行于x,y轴的直线，从而构造出三角形，把0Q作为三角形的高，当然也有其它解法。）

通过这样一层层地深入提问，不断地引导学生解决旧问题，提出新问题，给学生完整地显现了整个的思维过程。但学生又不完全受教师的约束，在第（4）问中给学生自由，发挥想象的空间，学生可以构造出各种不同的三角形，有一般的，也有特殊的三角形。在实际教学中，我重点强调解法2：等积法。而其他的解法学生中有出现的典型提示思路，主要布置课后探究式作业，也符合本节课的特点。

这一环节，是本节课最易出彩的地方，通过层层追问，教师的主导作用发挥得淋漓尽致，而学生的主体作用也体现到位，符合新课程的理念。又由于本节课的课型限制，重点不在于解决公式的推导，而在于公式的掌握和简单应用。所以我在设计时目标非常明确，以建构主义理论作为教学依据，注重学生自己提出解决问题的方法，带领学生寻找解决问题的途径，体验解决问题的全过程，从而提高解决问题的能力。在课堂上，学生从紧张思维，到适当讨论，再到动手运算，积极主动地参与到活动中来，一方面构建知识体系，同时又完成了一次次认识的飞跃。这样在课堂上不是让学生的思维到处开花，而是让他们的思维得到纵向发展。

三、通过对思想方法的提炼，提高学生对数学本质的认识

理论指导实践，数学的灵魂是数学思想与方法。尽管新课程对课堂教学提出了更高的要求，但是数学的本质不变，而且永远不能变。所以在课堂中，要有意识地把数学思想方法的教学渗透到教学环节和知识的教学中。

本课从公式的推导到公式的应用，牵涉到好多数学思想和方法，我在授课过程中对学生不断进行强化。如公式的推导中，书上的方法“等积法”，我认为教材这样安排有其妙处，故在教学时重点强调这种方法，其实“等积法”在解决一些几何问题包括平面几何、解析几何、立体几何中都有重要的作用。所以有意识地把数学思想方法的教学渗透进去，使学生在接受知识的过程当中理解数学方法。

在例题教学中，我本着尊重教材的精神，创造性地使用了教材。课本例题具有典型性和示范性，于是对它进行剖析、改造和深化，设计了变式题组，如下：

例1、已知点，求点A到下列直线的距离

变式1：且有点(-2,-1)，(2,3)，求△的面积。

本节课对公式的要求是会简单应用，变式1是公式最直接的应用，非常自然。而变式2是从另一个角度考察对公式的应用，在教学过程中，我非常注重数学方法的渗透，“待定系数法”是数学中一种非常重要的数学方法。变式3是由变式2变化来的，能力要求更进一步，主要考虑斜率不存在的情况，可以结合图形，突出“数形结合”的数学思想，达到“以形助数”的目的。

例题讲解完，教学任务似乎已经完成，学生已经比较满足于知识应用的阶段。我却觉得意犹未尽，若有所思，设置了下面一个问题：课堂探究：已知实数x, y满足3x+4y=5，求的最小值。

通过我的实际教学，大部分学生可以解决这个问题，所以课堂上可以不必花太多的时间。在本堂课的最后设置如此问题，可谓画龙点睛。一方面突出点到直线距离的意义，即点到直线的距离是点与直线上的所有点的距离的最小值，回归到开头的问题情境；另一方面，强调代数问题几何解决，突出“数形结合”的数学思想。我自认为这也是本课最后的精彩所在，达到前后呼应，突出重点，使知识得到升华，并且强化了数学思想方法。

[1]陈柏良.数学课堂教学设计的艺术[J].中学数学教学参考（高中），2006(6).

[2]陶维林.哪种方法用于课堂教学好[J].数学通报，2006(9).

G633.6

A

1009-8534（2014）03-0160-02

2013-09-21

陶良胜（1975-），男，安徽芜湖人，芜湖县第一中学数学教师，教育硕士，中教一级。