数学问题开放化与学生数学思维发展的意义

安嵩

所谓先“学会怎么做，再懂得为什么”的教学方法，虽然可以有效地提高学生的解题正确率与卷面成绩，却可能隐藏着“知其然而不知其所以然”的隐患。即学生只擅长在理想化条件中按照特定的模式得到答案，而不具备运用数学手段解决实际生活中问题的能力。上世纪80年代美国数学教育工作者们也发现学生虽有一定的计算技能和数学知识，但却严重缺乏运用数学知识去解决实际问题的能力。因此，以构建主义为原则，以“解决问题”为中心的数学课程应运而生，并实行了20余年，而此“解决问题”中所指的“问题”即开放性问题。

1.“封闭”的数学教育与创造力和数感的丧失。

学校教育或许成为让学生降低甚至丧失数感和数学创造力的一个重要因素。我在近些年曾经做过一项研究，让华东某省会城市一所小学四至六年级的各两个班的学生分别去解答一系列相同的开放性问题，再比较不同年级学生的解题方法与最终答案。此项研究的结果并不符合教师们常规的预期，即高年级学生应该具有更成熟、更多样化的解题方法，以及更准确的答案，恰恰相反，我们的研究发现中年级学生反而展现出了更具创造性和可行性的解题方法；同时，正是由于低年级学生的解题方法往往更基于生活常识背景，且更少地受纯数学公式和概念的限制，他们的最终答案的准确率也普遍高于他们的高年级学哥学姐们。

在此项研究中有一道题目是让四至六年级的学生们估算，用他们自己的方法和工具去测量学校体育场的面积。此体育场（类似标准田径场）是一个由直线和圆弧所组成的“不规则形状”，学生无法套用几何面积计算公式直接得出准确答案。然而，很多高年级学生在估算和测量体育场面积时倾向于选择他们所学过的“最高级”面积单位（如公顷和平方千米），几何计算公式（如圆的面积公式）和测量工具（如卷尺）。在估算方面，高年级学生更多地选择公顷和平方千米作为估算基准单位同时配以圆的面积公式来“精确”他们的答案；在测量工具选择方面，高年级学生往往只局限于使用有精准刻度的卷尺。然而，公顷和平方千米作为“大面积单位”在测量体育场面积时显然过大，加上大部分学生对这两个面积单位缺乏感性认识，导致很多学生过大地估算了体育场的面积；圆的面积公式作为一种理想化的“规则面积公式”在此例中也不适于进行估算与计算体育场面积；另外，卷尺作为一种相对精准的标准化测量工具在此例中的使用与其他“非标准化的测量工具”相比也丝毫不占优势。最后，相当一部分六年级的学生确信他们估算答案的准确性，选择了不去体育场做实地测量而直接用估算答案作为他们的测量答案，从而导致了较高的错误率。

反观四年级学生的估算和测量方法，我们得到了很多惊喜。惊喜之一是学生们使用了相对适合的面积单位进行估算。在估算方面，“平方米”作为一个他们在日常生活中所熟知的面积单位被广泛地使用，这是由于学生对“平方米”这个计量单位有着较为准确的感性认识，在估算时，往往可以得到较为精确的答案；个别有着农村生活体验的学生甚至使用了一些教科书中不太涉及的面积单位“亩”作为他们估算的基准单位，使用这个单位的学生们也都相对准确地估算出了体育场的面积。惊喜之二是学生们使用了极具多样性的测量工具进行实地测量，大扫帚、树枝、跳绳、竹竿等超过13种日常生活用品被学生当成测量工具，这些他们在日常生活中所熟知的物品在手中变成了比“卷尺”更加灵活的非标准化测量工具，让他们得出了比高年级学生更为精准的答案。

四年级学生带给我们的惊喜也正是我们的担忧所在：当这批学生升入高年级后，他们在面对开放性问题时所展现出的创造性，数感的灵活性是否会被反复的、封闭的数学训练所磨灭？他们在升入高年级后是否会陷入和他们前辈一样的误区？这些问题值得我们反思。

2.简单的数学题也需要“开放化”。

学生问：“1+1在什么情况下不等于2？”作为一名合格的教师该如何回答学生这样的提问？“在算错的情况下不等于2！”如果简单地用喜剧小品中的语言来应付学生的话，会造成学生对数理认识和数学结构产生很大的误区。其实，1+1在很多情况下是可以不等于2的。例如，在2进制中1+1=10（注：此处的10只代表数字1和0，与数字“十”有着完全不同的意义）。这个例子说明开放性的问题，并不一定需要具体的生活背景和严格的文字表述，即便简单的数字，经过条件的改变也是可以设计出开放性的问题的。

一个普遍的误区是把开放性问题简单等同于“文字题”或“应用题”，认为有若干文字描述的非选择题和非单纯性数字计算题都是开放性问题。然而，在大多数情况下，我们提供给学生的“应用题”缺乏足够的弹性空间，学生难以用自己的方法去进行探索并验证答案。此处我们所指的开放并不只是指题目和答案的开放，而是一种思维的开放和探究的开放，即学生需要有一个开放的探索空间和合作环境来利用现在的数学知识和手段去获取和理解新的数学知识。

数学，对于低年级学生来说是一种新的“语言”，是需要有着充分“开放”的思维空间来理解和感悟其结构与规律的。数字，作为这个新的“语言系统”中的元素，对大部分刚刚接触数学教育的低年级学生来说是陌生的。通过不断重复的训练，我们确实可以让学生看似“懂得了”数学，但在大多数情况下，学生对“数学究竟是什么？”缺乏基本的理解。例如，大部分学生可以轻松地算出4与6之和等于10，然而真正懂得“6+4为什么等于10？为什么两个一位数（4和6）相加会变成一个两位数（10）？”的学生却并不多。在进行基础教育的时候，教师们可以把这些简单的数学问题开放化，让学生有自由探索与思考数学的机会，从而理解数学。可以让学生探究在不同进制中（9进制、8进制和7进制中）6+4的答案，并在此过程中了解每个数位和数字的真正含义。

3.促进思维开放化，给学生更多的机会去理解数学。

在日常生活中，人们往往根据不同情况和需要去选择合适的交通工具。每个人都知道“坐车”与“开车”，“骑车”和“走路”在不同的环境中，有着各自不同的利弊，仅仅使用一种交通工具是无法满足人们的日常需要的。然而，在数学教育中，有些教师恰恰犯了这样的常识性的“错误”，即只教授学生如何“在快车道上行驶”而忽略了学生在“慢车道上骑车”和“在人行道上走路”的训练。在许多情况下，为了追求运算速度和正确率，教师们往往指定学生去“记住答案”和“套用公式”直接得到答案。例如，有些教师在学生缺乏充分探究和理解的情况下，即要求学生强记基本运算结果（如7+8=15，8×9=72等）和套用基本运算公式（如必须使用竖式进行乘除法的计算等），此教学方法虽然可以迅速提高学生的运算速度，却让学生丧失了对“数学世界”的理解。

数学，对于很多学生来说，是一个浩瀚的世界，但知道数学世界中每个“景点”之间有着千丝万缕的联系并不多。如果教师只提供给学生一种方法去探索数学世界，学生对这个世界的理解将必然是片面的。只有提供给学生不同的方法，尤其是让他们根据自己的喜好，选择适合自己的“交通工具”来探索才能相对全面地了解数学。例如，在进行乘法教学的时候，我们大可不必过早让学生强记“口诀”，在记下“口诀”前，我们可以让学生自己去寻找加法和乘法的联系以及不同数字之间乘法的关系，如4×9=2×9+（9+9）=6×6。在学生充分理解了乘法的本质和规律后再进行口诀记忆，会大大提高学生的应变能力。尤其是在高年级进行复杂数学学习时遇到传统数学方法行不通的情形，学生可以及时地改换思路，使用自己发明的方法从而顺利地得到正确的答案。简言之，让学生去运用教科书所提到的公理和公式之前，我们是要学生有充分的机会，来探索、使用他们自己的方法来总结一些数学规律的。

4.机遇与挑战——基于构建主义，以开放性问题为核心的数学教学模式。

基于开放性问题的教学和基于构建主义的教学是两个一脉相承的概念，在当代数学教育中，此二者不可分割：基于开放性问题的教学是指在教学中提供给学生独立思考与独立探究的机会；基于构建主义的教学是指在教学中提供给学生团队合作，分享知识的机会。我们传统的教学方法，是以教师讲课为主的，然后学生模仿教师的例题来进行大量训练。在此过程中，学生缺乏自己去“研究数学”的机会。作为教师，我们要让学生交流他们对数学的感悟并用自己的话说出对数学的理解。好的教师需要关注学生想出的每一种不同的方法，让学生知道数学不是只有唯一的方法，解题也并不需要遵循某种特定的过程。在一个以开放性问题为核心的数学课堂里，教师不再是这个课堂的唯一的权威而只是作为一个引导者：提供给学生一个开放的研究环境，让他们自己去寻找和探索新旧知识间的联系，并且在学生的探索完成后，来总结学生们的研究成果。通过让学生对比自己的方法和同学们的方法之后，评价各种方法的优劣，最后再把教科书中“正式的”和“最优的”数学知识教给学生。

（作者单位：美国得克萨斯大学）