招生规模与教育质量模型的离散动力学分析

顾恩国，安树庭，秦文钊

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

2013年2月6日，国务院常务会议部署完善研究生教育投入机制，决定从2014年秋季学期起，向所有纳入国家招生计划的新入学研究生收取学费[1]. 该项政策的公布，立即在社会上引起了强烈的反响[2,3]，反映了教育系统可持续稳定发展的重要性与迫切程度. 随着我国招生规模的迅速扩大，教学质量与招生规模的矛盾日益突出，尤其是教育质量，遭到来自多方的质疑[4]，因此众多学者对教育系统的合理发展进行了探讨，如招录工作与奖学金制度[5]，招生规模的合理增长率区间估计[6,7]等，文献[8-12]从不同侧面(如招生规模、学费标准、政府投入等)建立线性和非线性动力系统模型，研究了不同情况下系统解的存在性与稳定性，为政府进行宏观调控决策提供了相应的理论依据. 现有文献的研究方法与结论对政府宏观调控具有一定的参考意义，但均为连续模型，事实上，无论是招生、政府投入还是就业等行为都具有一定的周期性，因此离散动力学模型更符合实际.

为此，本文将考虑毕业生的就业成本，在适当的假设下建立招生规模与教育质量的二维离散动力学模型，描述两者随时间演化的规律，给出招生规模与教育质量可持续稳定发展的条件，为政府和高等院校进行宏观调控提供相应的理论依据.

1 模型的建立

本文主要考虑招生规模与教育质量的非线性关系，用N(t)表示t时刻的招生规模，Q(t)表示t时刻的教育质量. 先考虑从t时刻到t+1时刻，招生规模的变化率：

(1) 假设教育资源充分，当教育质量增加时，招生规模可以适当地扩大(需要说明的是，尽管教育资源在现有条件下不是无限充分，此假设仍然可以揭示教育系统的一些内在变化规律)；

(2) 招生规模也与毕业生有关，如果毕业生的就业压力过大，学校则应该降低招生规模，招生规模的变化与学生毕业时的就业成本成二次负相关[12]. 因此：

N(t+1)-N(t)=αQ(t)-λN2(t),

(1)

其中α>0为单位教育质量下应增加的招生规模，λ>0为毕业生的就业成本.

再考虑从t时刻到t+1时刻，教育质量的变化率：

(2)

其中β>0为单位招生规模下教育质量的相对改变量，反映教育质量对招生规模变化的敏感度.

根据上述说明，建立教育质量与招生规模的二维离散动力学模型如下：

(3)

2 非负平衡点的存在性

将模型(3)写成映射动力系统的形式则有：

(4)

这里“′”表示时间增加一个单位算子，在实际中一般表示3～5年. 下面求系统(4)的平衡点，根据平衡点的定义，系统(4)的平衡点应满足N′=N,Q′=Q，即为如下非线性方程组的解：

(5)

3 非负平衡点的局部稳定性

系统(4)的Jacobian矩阵为：

3.1 边界平衡点E0的稳定性

边界平衡点E0=(0,0)处的Jacobian矩阵为：

(6)

3.2 正平衡点E1的稳定性与分叉

正平衡点E1=(N*,Q*)处的Jacobian矩阵为：

(7)

由上述分析，我们有关于边界平衡点E0=(0,0)和正平衡点E1=(N*,Q*)的稳定性和分叉的定理.

定理1

(1)无论参数α,β,k,λ如何变化，边界平衡点E0=(0,0)恒不稳定；

(3)f(1)>0恒成立，因此系统(4)不会在E1处产生Fold分叉；

当k=2λ<2β时，1-f(0)=0且系统(4)有一对单位圆上的共轭复根，系统(4)将在E1处产生Neimark-Sacker分叉.

该定理说明政府为了引导良好的教育系统，应该一方面对教学质量进行适当的投入，另一方面还应降低毕业生的就业成本，可通过鼓励毕业生自主创业，提供就业信息，引进需求企业等措施来实现.

4 数值模拟

首先验证正平衡点E1的稳定性及Flip分叉. 固定参数α=1，β=0.75，λ=1>β，根据定理1的结论，当k<1时，正平衡点E1渐近稳定；当k=1时，系统在E1处发生Flip分叉.

图1 系统(4)关于政府投入k的分叉图，深色线表示教育质量，浅色线表示招生规模Fig.1 The bifurcation diagrams of the system (4) with respect to the investment of government k，the quality of education is represented in dark line, and the enrollment scale is represented in light line

如图1(a)所示，当01时，正平衡点通过Flip分叉失去稳定性，招生规模与教学质量将出现周期或混沌波动，与定理1的结论刚好吻合.

接下来验证正平衡点E1的稳定性及Neimark-Sacker分叉. 固定参数α=1，β=1.2，λ=1<β，根据定理1的结论，当k<2时，正平衡点E1渐近稳定；当k=2时，系统在E1处发生Neimark-Sacker分叉.

如图1(b)所示，当02时，正平衡点通过Neimark-Sacker分叉失去稳定性，与定理1的结论刚好吻合.

为了确定在临界状态k=1时系统(4)的稳定性，需要使用中心流形定理[13]. 固定参数α=1，β=0.75，λ=1，当k=1时，正平衡点E1=(1.33,1.78). 对系统(4)作坐标平移变换，写成矩阵形式为：

(8)

记f(u,v)=-0.69u2-0.75uv-0.20v2，g(u,v)=-0.34u2-0.74uv-0.30v2，设中心流形

Mc={(u,v)∈R2|v=h(u),h(0)=0,h′(0)=0,|u|<δ}，h(u)=b1u2+b2u3+o(u4)，有：

h(-u+f(u,h(u)))-0.33h(u)-g(u,h(u))=0.

f1:u|→-u+f(u,h(u))=-u-0.69u2+0.132u3+o(u4),

限制，而f1的Schwarzian导数：

因此h(u)为稳定流形，则正平衡点E1在k=1时局部稳定.

5 结语和展望

本文研究了招生规模与教育质量可持续稳定发展的问题，建立了招生规模与教育质量的离散动力学模型，并对模型进行了非线性动力学分析，讨论了正平衡点的存在性、稳定性及分叉. 结果表明：政府对教育资源的投入应综合考虑教育质量对招生规模变化的敏感度以及毕业生的就业成本，教育质量稳定发展的一个充分条件是政府的投入k低于毕业生就业成本λ的2倍，在对教育质量进行投入的同时还应降低毕业生的就业成本.

本文仅考虑了单个学校的动力学模型，未考虑由于校际合作、竞争等情况给模型带来的干扰. 将整个教育体系看成一个大系统，对有限的教育资源进行分配，并对招生规模进行估计将在后文中做进一步研究.

参 考 文 献

[1] 佚名. 2014年秋季起研究生全自费，硕士学费不超过8000[EB/OL]. [2013-11-31].http://edu.163.com/13/0207/09/8N3OKCMC00293OM3_all.html.

[2] 佚名. 明年秋季起研究生全部自费打破30多年计划体制[EB/OL]. [2013-11-31].http://yz.chsi.com.cn/kyzx/kydt/201302/20130222/390606520.html.

[3] 佚名. 研究生全自费难挡考研热[EB/OL]. [2013-05-31].http://kaoyan.eol.cn/nnews_6152/20130506/t20130506_939089.shtml.

[4] 袁本涛，赵 伟，王孙禺. 我国研究生教育质量现状的调查与研究[J].高等工程教育研究，2007，4：105-118.

[5] 李少俊. 经费是培养机制改革成功的关键[J].河南教育，2011，10：17-18.

[6] 马以飞，白晓娟. 确定高等学校招生规模的BP神经网络模型[J].辽宁工程技术大学学报，2004，23(2)：265-267.

[7] 谢作栩，黄荣坦. 中国高等教育规模发展宏观调控模型研究[J]. 高等教育研究，2004，25(6)：18-24.

[8] 庞 伟. 微分函数在高校招生规模与就业率关系方面的应用分析[J]. 中国科技创新导刊，2011，7：43.

[9] 化存才. 高校毕业生就业率和招生规模的数学模型[J]. 工程数学学报，2005，22(8)：59-62.

[10] 化存才. 高校教育收费问题的微分方程模型与宏观调控分析[J]. 云南大学学报：自然科学版，2008，30(1)：1-6.

[11] 化存才，陆启韶，任 维. 数学应用工程研究[M]. 北京：科学出版社，2010.

[12] 化存才. 高校招生规模、政府投入和学费标准的三维动力学模型及政府调控[J]. 成都理工大学学报：自然科学版，2007，34(6)：657-660.

[13] Saber N E. Discrete Chaos [M]. New York：Chapman Hallcrc，2000.