多圆柱上从加权Bergman空间到Bloch型空间的加权复合算子*

吴玮玮， 徐辉明

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

设Dn={z=(z1,z2,…,zn)∈Cn:|zk|<1,1≤k≤n}⊂Cn是单位多圆柱,∂Dn表示 Dn的拓扑边界,D={z∈C:|z|<1}⊂C是单位圆盘.用H(Dn)表示Dn上的全纯函数全体,H(Dn,Dn)表示Dn的全纯自映射,把Dn上的Bloch型空间Bβ(Dn)(0<β<∞)简记为Bβ,定义为

设φ(z)=(φ1(z),φ2(z),…,φn(z))∈H(Dn,Dn), ψ(z)∈H(Dn),定义H(Dn)上的加权复合算子为(ψCφf)(z)=ψ(z) f(φ(z)),z∈Dn, f∈H(Dn).显然,ψCφ是线性算子,当ψ=1时,Cφ即为通常的复合算子.

本文均假定α=(α1,α2,…,αn),αj>-1, j=1,2,…,n,符号C代表正的常数,且在不同的地方可以是不相同的值.

1 引 理

为了证明本文主要结果,先给出几个引理.

取w=0,则

证明 取定k∈{1,2,…,n},固定z1,…,zk-1,zk+1,…,zn,由引理1知,

结合引理1得

2 主要结果

(2)

(N+CM)‖f‖p,α=C‖f‖p,α.

另外,由引理1知, |ψ(0)|5 |f(φ(0))|≤C‖f‖p,α.因此，ψCφ是有界的.

因此，

下证式(2)成立.作函数

由ψCφ的有界性和式(1)得

因此,

定理1证毕.

ψ∈Bβ,ψφl∈Bβ,l=1,2,…,n;

(3)

(5)

由定理2的条件知,∀ε>0,∃δ∈(0,1),使得当dist(φ(z),∂Dn)<δ时,

因此,结合引理1和引理2,当dist(φ(z),∂Dn)<δ时,

(1+C)ε.

必要性 因紧算子一定是有界算子,易知式(3)成立.下面用反证法证明式(4)和式(5)成立.

假设式(4)不成立,那么存在ε0>0和一个点列{wi}⊂Dn,当i→∞时,φ(wi)→∂Dn,使得

(6)

由式(6)知,一定存在l0(1≤l0≤n)和{wi}的子列,不妨设就是{wi}本身,使得

由φ(wi)→∂Dn(i→∞)知,至少存在一个j0(1≤j0≤n),使得当i→∞时,|φj0(wi)|→1.作函数

即当i→∞时,‖ψCφfi‖β不收敛于0,这与ψCφ是紧算子矛盾,故式(4)成立.

下面证明式(5)成立.假设式(5)不成立,类似于上面的讨论,存在ε0>0和一个点列{wi}⊂Dn及j0(1≤j0≤n),当i→∞时,φ(wi)→∂Dn,|φj0(wi)|→1,使得

作函数

(7)

由式(4)知,当i→∞时,式(7)的第2项趋于0.因此,当i→∞时,‖ψCφgi‖β不收敛于0,这与ψCφ是紧算子矛盾,故式(5)成立.定理2证毕.

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