探寻高中数学解题中的“灵感”

☉江苏省泗洪中学 穆婷婷

探寻高中数学解题中的“灵感”

☉江苏省泗洪中学 穆婷婷

解题教学是高中数学课程教学的重要组成部分之一，在进行数学解题的过程中，能够有效地理解和深化数学基本知识，熟练掌握处理问题的基本技能.可以说解题是直接了解学生学习情况的一个窗口.新课改实施以来，越来越注重学生解题能力的提升.如何实现高效解题是一线教师探究的永恒话题.从心理学角度来看，思维可以比作解题活动，最有效的解题策略是在思维中形成的，思维的创造性特征离不开灵感，灵感在高中数学解题中起到举足轻重的作用.笔者从自身教学实践出发，在本文中重点阐述如何引导学生获取解题中的灵感，从而提升学生有效解题的能力，提高课堂教学的效益.

一、以问题为开端，创设合理情境，探寻数学解题“灵感”

教育心理学理论表明：问题是思维的出发点和推动学生能力发展的添加剂，问题情境的创设能够有效激发学生求知的好奇心，进而形成合理的思维动向，在新的情境中获取“灵感”，实现疑难问题的合理转化.

解析：根据题设中方程组的特征，若（x0，y0）满足该方程组，则（-x0，y0）也能满足此方程组.由于题中方程组有唯一的实数解，则x0=0.

令（0，y0）为方程组唯一的实数解，则

将k=0代入原方程组，可得到三组解，不符合题意；将k=2代入原方程组，可得唯一的一组解

点评：对于本题，常规的处理手段是进行“消元”，变成一元方程进行处理，显然十分复杂，学生处理问题的思维方法受到阻碍，无法进行.通过观察方程组的特征，创设新的问题情境，意外发现x和-x代入方程组效果相同，结合题目中唯一解的要求，获取解题的灵感，从而成功解题.

二、充分发挥直觉思维的敏锐特征，激发数学解题的“灵感”

伟大的科学家爱因斯坦曾经说过：“直觉思维能力是科学探究的重要保障”，由于直觉思维主要作用于问题的整体框架，可直接触及研究对象的内涵与本质，短时间内作出科学性的推理和感性判断.直觉思维能够使数学解题中的“灵感”有效地迸发出来；直觉与灵感有着密切的联系，灵感在直觉的升华中产生，直觉为灵感的出现提供基础与源动力.

解析：令（fu）=（x-y）u2+（y-z）u+（z-x）=0.根据题意可知是此方程的一个根.由于此方程的系数满足（xy）+（y-z）+（z-x）=0，则u=1也是方程的根.

点评：本题形式并不复杂，许多学生接触到该题却无从下手，注意观察，发现3=（）2，从直觉的角度了解本题题设条件符合一元二次方程的形式，激发了学生解题的灵感，准确构建一元二次方程进行求解.

三、合理运用类比和联想的思想方法，获取数学解题的“灵感”

高中数学课程教学内容之间存在着密切的联系，虽然具有不同的分支，但是彼此之间相互渗透，处理数学问题的思想方法与手段同样是融会贯通的.类比和联想是典型的数学思想方法，也是激发学生解题灵感的重要方式之一.作为一线数学教师，在平时的解题教学中，应该有意识地引导学生灵活运用类比和联系的手段思考问题，促进数学知识与能力的正迁移，诱发学生分析问题、解决问题的灵感.

解析：根据题设条件的形式，我们可以类比和联系到三角函数中的一个等式：.由于三角函数y=tanx是一个周期函数，且周期为π，令，即π=4m，则4m是函数f（x）的一个周期.

点评：对于本题，要说明f（x）是周期函数，大部分学生都是选择从周期函数的定义出发进行处理，快速寻求函数的一个周期是解题的关键之处，但是从题设条件中直接找到周期是十分困难的.通过对题设条件的形式进行类比和联想，我们可以发现其与三角函数中的等式很相似，学生思维的灵感被激发出来，找到了解题的突破口，本题就迎刃而解了.

四、敢于打破常规思维定势，运用合理的思维转换，把握数学解题的“灵感”

高中数学试题形式多样，有些试题按照常规思维处理似乎“山穷水尽”，无法下手，究其原因主要是受到思维定势的负迁移作用的影响.在这种情况下，可以通过合理的思维转换，让受阻的解题思路拓展开来，从而实现数学解题思路的“柳暗花明”.

例4试解方程5x2+2y2+2xy-14x-10y+17=0.

解析：将原方程变形为5x2+（2y-14）x+（2y2-10y+17）=0，即为关于x的一元二次方程.因为有实数解，所以Δ≥0，即（2y-14）2-4·5·（2y2-10y+17）≥0，即（y-2）2≤0，则y= 2，则x=1.

原方程的解为：x=1，y=2.

点评：对于本题，若按部就班地按照常规思路解题，感觉好像缺少条件一样，百思不得其解.但是通过转换思维方式，将原方程看成以x为主的二次方程进行处理，让学生豁然开朗，立即把握住解题的灵感，从而成功解题.可见，解题的灵感可以在转换思维中迸发出来.

总而言之，高中数学解题教学中，引导学生从多角度适时抓住解题的“灵感”，获取解题的最佳方案是一线数学教师不懈努力的方向.在平时的课堂教学中，应该更多地提供给学生获取解题“灵感”的机会，进而快速提升学生分析数学问题和处理数学问题的能力.