海州地区小学生代数思维水平的调查研究

江苏连云港市解放路小学（222000） 石保艮

海州地区小学生代数思维水平的调查研究

江苏连云港市解放路小学（222000） 石保艮

从算术思维到代数思维的过渡，是小学生学习数学的一个重要问题。利用带有未知数字的式子，来探究学生的思维方式，是目前研究学生算术思维和代数思维水平发展的一个重要途径。调查分析发现，同一年级的学生主要处于算术思维水平；不同年级学生的思维水平存在显著性差异；男女生的思维水平不存在显著性差异。

海州地区 小学生 算术思维 代数思维

一、调查背景

从算术思维向代数思维过渡，是学生认知过程的一次飞跃，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段。2001年，我国《全日制义务教育数学课程标准》中指出，小学阶段应安排丰富的代数学习素材，发展小学生的代数思维，促进小学生实现由算术思维向代数思维的过渡。《美国学校数学教育的原则和标准》中也提到：“通常，学校数学课程要等到初中或高中才明确地包括传统的代数，建议在小学就包括代数。”

在参阅文献的过程中发现，“数与代数”是小学甚至是整个数学学习中最为重要的部分，而代数思维的培养更是贯穿于整个数学学习当中。而在小学阶段，学生是处在算术思维水平还是代数思维水平，或者是从算术思维过渡到代数思维的阶段，很值得研究与探讨。因为它对于小学生主动学习代数知识以及教师教授代数方面的知识与技能有着深远的影响，甚至直接关系到学生能否很好地从算术思维过渡到代数思维。成功的过渡在学生今后的数学学习中将起到至关重要的作用。

本文主要研究三个问题：（1）同一年级的学生主要处于什么思维水平？（2）对于同一问题，不同年级的学生是否存在显著性差异？（3）对于同一问题，男、女生之间是否存在显著性差异？通过本次调查研究，可以了解海州地区小学生当前代数思维的发展水平，从而有利于教师帮助学生完成从算术思维到代数思维的过渡，引导学生学会用代数思维来思考数学问题。通过本次研究，还可以探究小学数学教学中影响学生代数思维的因素，进而开发学生的代数思维能力，实现小学数学到中学数学的成功跨越。

二、研究方法

（一）问卷设计

已进行的研究使用了包含加法和减法的数式填空题。而本研究因为涉及三、四、五年级学生，所以问卷中有四个大题，即第一题加法、第二题减法、第三题乘法和第四题除法，每个大题又分出三个小题，总共12道题。

这些题目采用逐层递进的方式进行编排，以第一题为例，最开始是含有两个未知数字的数式填空。

问题1（a）：在空格A和空格B中填入适当的数字，使式子成立。

这样的式子可以潜在的起到推动作用，促使学生进行代数思维。虽然利用计算的方法也可以得出正确答案，但是学生只有超越算术思维，才能识别出式子中的一般结构关系，从而认识到使用代数方法来解决真实世界的问题和数学问题的优越性。

然后是将前面的式子中的数字进行改换，并给出一个未知数字的值，求另一个未知数字的值，并要求写出计算过程。

问题1（b）：如果用234代替18，236代替20，如果空格A中填了19，那么空格B中应该填多少？写出计算的过程。

这个问题能够从具体的数字例子中做出正确的数字概括，这是代数推理中的关键因素。

最后要求学生直接写出两个未知数字之间的关系。

问题1（c）：当式子成立时，空格A和空格B中所填的数字应满足什么关系？

（二）研究样本

样本取自江苏省连云港市海州地区某小学，该校学生的数学素养、数学思维发展水平在海州地区乃至全市范围都具有一定的代表性。

（三）数据收集

为了确保问卷的随机性，在2012年6月，对学校三、四、五年级部分班级共478位学生进行了问卷测试，其中男生261人，女生217人，共回收有效测试卷三年级151份，四年级157份，五年级158份，均超过发放问卷的95%。

（四）数据分析

代数思维水平：我国《全日制义务教育数学课程标准》中指出，代数思维是指建立数感和符号意识，发展运算能力，树立模型思想。美国NCTM标准认为，代数思维是指理解变量、代数式，方程的概念；用数字、表格、图形、文字、方程表示信息，并探究这些表征的相互关系；使用具体的、非正式的、形式化的方法求解线性方程组、不等式、非线性方程组；使用代数方法来解决真实世界的问题和数学问题。

算术思维水平：着重利用数量的计算求出答案的过程，这个过程是程序性的、含情境的、具有特殊性的、计算性的，甚而建立在直观上。在算术思维中，运算式的功用是一种思考的记录，是直接联结题目与答案的桥梁。处于这个水平的学生，他们通过已知量的运算得出未知量，通过一系列的、连续的运算得出答案。

以第一大题为例，在问题1（a）中，根据学生的演算过程及答案进行整理分类，将其所作答案分成6类：2，0；10以内其他数字；20，18；超过10的其他数字；未作答；答案错误。

通过事后访谈了解到，答案“2，0”是学生通过整体的观察，发现等式左边与右边相差2得到的，答案“20，18”是学生从等式的性质出发认为只要两边相等就可以了，所以就把两个数字进行简单交换，因此把答案“2，0”“20，18”归为代数思维水平。在访谈中发现很多学生先在左边填入一个数字，然后进行计算，得出左边的数字，那么，把填入数字像1、3、4、5等的数字归为答案“10以内其他数字”，那么答案“超过10的其他数字”就很容易理解，自然是11、12、13等这些数字，把这种通过一边计算得出另一边的行为归为算术思维水平；未作答与答案错误归类为另外一类。

在问题1（b）中，根据学生的演算过程及答案进行整理分类，将其所作答案分成7类：两边比较差为2；列方程，两边同加减或者移项或列方程，先左后右；直接列出等式直接得出答案；左边求和，再做差，得出17；其他；未作答；答案错误。

在这个问题中，同样进行了访谈，了解到学生得到答案“两边比较差为2”也是通过整体地看问题而发现的，那么这属于代数思维水平；而答案“列方程，两边同加减或者移项”和“列方程，先左后右”是解方程的一般步骤，自然是属于代数思维水平；答案“直接列出等式直接得出答案”也体现整体看问题这一特点，所以也归为代数思维水平；答案“左边求和，再做差，得出17”“其他”体现为算术思维水平；“未作答”与“答案错误”自成一类。

在问题1（c）中，根据学生的演算过程及答案进行整理分类，将其所作答案分成6类：A与B的差为2；A与B的差等于另外两项的差；A与B之间无明确的数量关系；其他答案；未作答；答案错误。

关于这个问题，延续了问题1（a）中的方法，觉得答案“A与B的差为2”“A与B的差等于另外两项的差”都是通过左右两边同时看问题从而得到的结果，那么它们体现了代数思维水平；答案“A与B之间无明确的数量关系”“其他答案”体现为算术思维水平；“未作答”与“答案错误”自成一类。

三、调查分析和研究结果

所有学生都完成了加法与减法中的（a）、（b）这两类问题。三、四、五年级学生无法完成全部的问题，有的只完成了加减法的问题。不过这仍然为得出结论提供了足够的依据。虽然有的学生可以利用计算方法解答（a）部分中的问题，但是（b）、（c）问题仍然可以用来“推动”学生做出结构性的回答。通过这样的题目，几乎所有学生都尝试描述空格A和空格B中数字之间的关系。

（一）同年级学生主要所处思维水平

从表1中可以看出，在学生可以得到正确答案的前提下，算术思维所占人数以压倒性的优势超过代数思维所占的人数，所以认为三、四、五年级的学生，主要是处于算术思维水平，但在这12道题目中也有例外，如回答对1（c）、2（c）、3（a）和4（a）这四道题目的学生出现了代数思维人数超越算术思维人数的态势。所以，笔者针对这四道题进行了深入的研究。

通过对1（c）问题的反复推敲，认为可能是因为18和20这两个数字比较接近，容易看出两个数字相差2，如果换成比较长的数字也许学生就不容易发现它们的关系。学生属于代数思维的答案可以归纳为两类：（1）答案一：空格A与空格B中的数字相差2；（2）答案二：空格A与空格B中数字的差等于式子中另外两个已知数的差。但答案一占大多数，答案二鲜有出现。这一现象可能是因为1（a）和1（b）两个问题中的已知数都是相差2，从而误导了学生。

因为加法跟减法运用的是一样的思维方法，学生们的答案也是跟1（c）相同的两类，所以在这里不对2（c）做另外的说明。

笔者对问题3（a）的反常现象也做了一些思考。

（1）三、四、五年级学生已经学习因数这一概念，所以他们能看出12有1、2、3、4、6、12这几个因数，而16有1、2、4、8、16这几个因数，又因为生活习惯，习惯把12看做3乘以4，把16看做4乘以4，所以发现它们有一个相同的因数——4，为了使等式成立，就容易得出“空格A＝4，空格B＝3”这一答案。

（2）有些学生在熟悉等式概念的前提下，喜欢耍小聪明，发现直接将式子中的两个已知数交换位置填入空格即可，所以又得到了另一种答案——“空格A＝16，空格B＝12”。

同样的乘法与除法其实是一样的，不过三、四、五年级学生还不知道这个道理，可是在问题4（a）中却得到了与3（a）相似的数据，这足以说明学生在日常学习中也有发现一些数学规律。

（二）代数思维在发展上的差异

根据问卷上的12道小题，对各年级学生的数学思维水平进行了分析。根据表1的分析结果，发现各年级学生在每道小题上的数学思维水平都表现出显著性差异。

从总体上看，三年级学生代数思维人数明显少于四、五年级，而四年级和五年级学生代数思维人数基本持平。由此可见，三年级学生的思维水平跟四、五年级学生有着本质上的差距，而四、五年级之间差距不大。这符合事物发展的规律，也表现出小学生的思维方式正在从算术思维向代数思维缓慢过渡。

（三）男、女生之间代数思维水平的差异

同样，根据学生对12道小题的作答情况，对男、女生数学思维水平差异进行了分析，得到了图1、图2。

根据分析结果可知，男、女生的数学思维水平无显著性差异。选1（a）、1（b）、1（c）小题进行具体的分析比较。

在1（a）中，有六种答案，每种答案，男、女生所占比例都非常相近，进行卡方检验，卡方值为1．024，P值为0．599，大于显著性水平0．05，因此男、女生在这道题的回答中不存在显著性差异。

在1（b）中，有六种答案，同样，每种答案，男、女生所占比例都接近于50%。通过卡方检验，得到卡方值为6．111，P值为0．047，小于显著性水平0．05，由此可知，男、女生在这道题的回答中存在显著性差异。

在1（c）中，有五种答案。通过卡方检验，得到卡方值为1．233，P值为0．540，大于显著性水平0．05，由此可知，男、女生在这道题的回答中同样不存在显著性差异。

虽然以上三个问题中就有一个问题的数据显示男、女生之间存在显著性差异，但是在图2中，可以看到在12个问题中也只有在问题1（b）、3（b）上表现出男、女生是有差异的，其他都是没有差异的。综上可知，男、女生在数学学习上不存在所谓的能力差异，这也是符合科学理论的。

四、结论

通过本次研究得到了以下三个结论：

第一，同年级学生处在算术思维水平的占大多数。不管是三年级、四年级，还是五年级，从总体上看处于算术思维的人数具有压倒性的优势，这可能是因为三、四、五年级都是处于从算术思维向代数思维过渡的准备阶段。

第二，不同年级学生在代数思维水平上具有显著性差异，并且随着年级的上升，表现出代数思维水平的学生人数在不断上升，不过四年级与五年级是处于一个水平阶段的，因为他们表现为代数思维水平的人数基本是持平的。

第三，男、女生在代数思维水平上不存在显著性差异。这也许可以消除人们对男、女生学习数学的传统偏见，至少在这个地区是这样的。正如已有的研究表明，男、女生学习数学的性别差异，主要是在社会经济文化的影响下而产生的。海州地区是连云港市经济文化发达的中心城区，本地居民的思想观念和生活方式都有了长足的发展，因此从这一个视角来看，数学学习性别差异的消失也是必然的。

五、存在的问题及建议

对于五年级学生，从总体上看处于算术思维的人数仍占多数，这也造成了六年级学生在简单代数问题的解决中总体表现不佳，分析主要有两个原因：第一，教材在代数学习素材上进行了整体的构建，但是在具体内容安排上仍存在问题；第二，教师对教材中的代数学习素材缺乏研究。建议教材在编写过程中，在低年级学段多设渗透代数思想的内容及相关的题目，加强小学低年级数学教师的代数知识培训，强化代数意识。

对于小学生而言，从算术思维到代数思维的过渡并不容易。学生要顺利完成从算术思维向代数思维的过渡，其思维必须经历从数字到符号、从特殊到一般、从程序到结构的飞跃。为此，教学安排中亦应注重代数思维的符号化、一般化与结构化三个特征。

（责编 黄春香）

G623.5

A

1007-9068（2015）29-055