高职高考数列通项公式常见类型及解法

钟伟明

（广东省深圳市第二职业技术学校）

数列是中职数学的重要内容，在数学高职高考中具有举足轻重的地位。对于求数列问题，最基本的就是求数列的通项公式，而求数列的通项公式往往是解数列题的突破口和关键点。因此，在解题时，要根据题目所给的条件的不同，灵活采用不同的方法求数列的通项公式，本文根据近年来的高职高考数列通项的题型，总结出以下几种常用的解法。

一、用“公式法”求通项公式

（1）已知数列是等差（或等比）数列求数列通项。此时，只需要求出首项和公差（或公比）即可以直接利用等差（或等比）数列的通项公式求解。

（2）已知数列的前n项和求数列通项。此时，利用an与Sn的关系式求通项公式。在用an与Sn的关系式求数列式进行变换，转化为等差或等比数列问题求解，具体的类型和解法如下：

类型1：已知某项（多为首项）且an+1=an+f（n）的递推关系式；

只要f（n）能进行求和时，则宜采用“累加法”求数列的通项公式。由累加法可求得：an=a1+f（1）+f（2）+f（3）+…f（n-1）.

例3.已知数列an｛ ｝满足a1=1，an=an-1+n（n≥2），求数列an｛ ｝的通项公式。

解：∵an-an-1=n（n≥2）

∴a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…，an-an-1=n.

将以上式子累加得到：an-a1=2+3+4+…+n

∵a1=1

∴an=1+2+3+4+…+n=通项公式时，要注意分n=1 与n≥2 两种情况讨论；即验证若S1满足Sn-Sn-1，则用统一形式表达an，若S1满足Sn-Sn-1则用分段函数的形式表示。

例1.已知数列an｛ ｝的前n项和为Sn，设an是Sn与2 的等差中项，数列bn｛ ｝中b1=1，点P（bn，bn+1）在直线y=x+2 上，求an｛｝，bn｛ ｝的通项公式。

解：当n=1 时∵a1=S1，∴a1=2a1-2 即a1=2

依题意可知Sn+2=2an即Sn=2an-2

当n＞1 时an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2）=2an-2an-1

类型2：已知某项（多为首项）且an+1=an·f（n）的递推关系式；

只要f（n）能进行求积时，则宜采用“累积法”求数列的通项公式。此时由累积法可求得：a1=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）.

∴an=2an-1，即将以上式子累积得到

所以数列an｛ ｝是以2 为首项，且以2 为公比的等比数列，通项

∵a1=1公式为an=2n；

因为数列bn｛ ｝中b1=1，点P（bn，bn+1）在直线y=x+2 上

所以bn+1=bn+2，即bn+1-bn=2

所以数列bn｛ ｝是以1 为首项，以2 为公差的等差数列，其通项公式为bn=1+2（n-1），即bn=2n-1

二、用“观察法”求通项公式

类型3：已知某项（多为首项）且an+1=pan+q（p，q为常数）的递推关系式；

该类型通常用两种解法：

解法一：用代定系数法转化为我们熟悉的数列进行求解，基本解题思路是，设an+1+t=p（an+t），与已知式相比较可求出，得

已知数列前几项求数列通项公式题型，只需要对所给项观察分析，寻找项与项数之间的规律，写出数列的通项即可。

例2.数列9，99，999，9999，…的通项公式an=_____

解：通过观察发现，9=10-1；99=102-1；999=103-1；9999=104-1

所以该数列的通项公式an=10n-1到｝是公比为p的等比数列。

解法二：由an+1=pan+q①an+2=pan+1+q②，再由②-①得an+2-an+1=p（an+1-an），从而得到｛an+1-an｝是公比为p的等比数列。

三、用数列递推关系式求数列通项公式

对于给定数列递推关系式求通项公式是高职高考的热点之一，一般的出题形式为先给定数列的初始值及数列通项的递推关系式，要求求出数列的通项公式。具体解法是要先对数列递推关系

例5.若数列an｛ ｝满足a1=1 且an+1=3an+2，求数列an｛ ｝的通项公式。

解法一：设an+1+t=3（an+t），移项得到an+1=3（an+t）-t=3an+2t，

∴2t=2，即t=1，此时

从而数列｛an+ 1 ｝是以2 为首项，以3 为公比的等比数列，所以an+1=2·3n-1即an=2·3n-1-1.

解法二：由an+1=3an+2①，an+2=3an+1+1②，再由②-①得an+2-an+1=3（an+1-an），从而得到｛an+1-an｝是公比为3 的等比数列。

再由累加法得到：

类型5：已知某项（多为首项）且an+1=pan+f（n）（p为常数）的递推关系式；

这种类型的解法宜先采用将an+1=pan+f（n）两边同时除以pn+1，转化成类型1，再用累加法可以求出通项公式，特别是当f（n）是以p为底的指数函数形式时，两边同时除以pn+1，可直转化为等差数列。

例7.已知数列an｛｝满足a1=1，且an+1=2an+2n（n∈N*）（2009 年广东高考题）

解：（1）将an+1=2an+2n两边同时除以2n+1，得到：

所以数列an｛ ｝通项公式为an=2n-1n.

总之，求数列的通项公式是历年高职高考考查的热点，其考查的目的在于测试学生灵活运用数列知识的能力，和把陌生问题转化为熟悉问题的数学思想方法。虽然对于参加高职高考的学生来说难度较大，但是只要学生的等差、等比两类最基本数列的基础知识过关，对数列求通项的各种题型训练到位，认真分析题意，仔细审题，选取适当的解法，规范解题步骤，那么求数列通项公式的考点将会迎刃而解。

［1］李东月.例析高考递推数列通项公式的常见类型及其求法.数学教学与研究［J］，2011（04）.

［2］梁桂友.递推数列通项公式的解题技巧与方法［J］.数学学习与研究，2014（01）.

［3］张树林.关于数列通项公式推导类问题的几点思考［J］.科技信息，2013（11）.