2015年高考数学模拟金卷（二）

（说明：本套试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，

1. 设i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=2i-1，则复数z1·z2在复平面上对应的点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2. 一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为（ ）

A. B. C. D.

3. （理）已知曲线C1：x2+y2-2x=0和曲线C2：y=xcosθ-sinθ（θ为锐角），则C1与C2的位置关系可能为（ ）

A. 相交 B. 相切

C. 相离 D. 以上情况均有

（文）若实数x，y满足约束条件x+y≥0，x-y+3≥00≤x≤3，，则z=2x-y的最大值为（ ）

A. - B. 11 C.0 D. 9

4. 2015年某中学派出5名优秀教师去某地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（ ）

A. 80种 B. 90种 C. 120种 D. 150种

5. 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则a +a +…+a 等于（ ）

A. 1033 B. 1034 C. 2057 D. 2058

6. 不等式 <1的解集记为p，关于x的不等式x2+（a-1）x-a>0的解集记为q，已知p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）

A. （-2，-1] B. [-2，-1] C. D. [-2，+∞）

7. 下面四个命题：

①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；

②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；

③“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a，b不相交”；

④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”.

其中正确命题的序号是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④

8. 椭圆 + =1（a>b>0）的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ）

A. B. C. D.

9. 某品牌香水瓶的三视图如图1（单位：cm），则该几何体的表面积为（ ）

图1

A. 95- B. 94- C. 94+ D. 95+

10. 如图2所示的程序框图输出的结果是（ ）

A. 6 B. -6 C. 5 D. -5

图2

11. △ABC中，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且 = +λ （λ∈R），则AD的长为（ ）

A. 1 B. C. 2 D. 3

12. 已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表1， f（x）的导函数y=f ′（x）的图象如图3所示，下列关于函数f（x）的命题：

①函数f（x）的值域为[1，2]；

②函数f（x）在[0，2]上是减函数；

③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；

④当1

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

图3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，

13. （理）某中学200名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N（120，100），则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为_______.

（注：正态总体N（μ，σ2）在区间（μ-2σ，μ+2σ）内取值的概率约为0.954）

（文）某校现有高一、高二、高三三个年级共48个教学班，各年级学生数分别是1000，1050，1200，若按分层抽样从全校抽出65名学生，则高二年级比高一年级多抽出_______名学生.

14. （理）若锐角α，β满足（1+ tanα）（1+ tanβ）=4，则α+β=_________.

（文）函数f（x）=sinx·cosx-sin2x的最小正周期是_________.

15. 设a，b均为大于1的正数，且ab+a-b-10=0，若a+b的最小值为m，则m=_________，满足3x2+2y2≤m的整点（x，y）的个数为_________.

16. 如图4中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在四个三角形中，黑色三角形的个数依次构成数列{an}的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，

图4

（1）黑色三角形的个数的通项公式an=_________；

（2）若数列{bn}满足bn= ·an+1，记M=C +C +C ·b1+C ·b2+…+C ·b19，则M的个位数是_________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，

17. （本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=anlog an，求数列{bn}的前n项和Sn.

18. （本小题满分12分）如图5，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B C 中点.

（1）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；

（2）（理）设二面角A1-ED-A的大小为α，直线AD与平面A1ED所成的角为β，求sin（α+β）的值.

（文）求三棱锥E-A1FD的体积.

19. （本小题满分12分）某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰. 若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图6所示：

（1）求获得参赛资格的人数；

（2）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；

（3）（理）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为 ，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.

（文）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为 ，求甲在初赛中答题个数为3时的概率.

20. （本小题满分12分）如图7，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点，F2（1，0）为焦点的抛物线的一部分，A ， 是曲线C1和C2的交点.

（1）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线的方程.

（2）过F2的一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点.

①求△CDF1面积的取值范围.

②（只理科做）若G为CD中点，H为BE中点， · 是否为定值？若是，求出此定值；若不是；请说明理由.

21. （本小题满分12分）（理）函数f（x）=x3+ax2+bx的图象C与x轴相切于不同于原点的一点，且f（x）的极小值为-4.

（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；

（2）过曲线C上一点P1（x1，y1）（P1不是C的对称中心）作曲线C的切线，切C于不同于P1（x1，y1）的另一点P2（x2，y2），再过P2（x2，y2）作曲线C的切线，切C于不同于P2（x2，y2）的另一点P3（x3，y3），…，过Pn（xn，yn）作曲线C的切线，切C于不同于Pn（xn，yn）的另一点Pn+1（xn+1，yn+1）. 令x1=-1，求{xn}的通项公式.

（文）函数f（x）=x3+ax2+bx的图象与x轴相切于点（-3，0），且函数存在极值.

（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；

（2）过函数y=f（x）图象上一点P1（x1，y1）（P1不是y=f（x）图象的对称中心）作曲线的切线，切于不同于P1（x1，y1）的另一点P2（x2，y2），再过P2（x2，y2）作曲线的切线，切于不同于P2（x2，y2）的另一点P3（x3，y3），…，过Pn（xn，yn）作曲线的切线，切于不同于Pn（xn，yn）的另一点Pn+1（xn+1，yn+1），求xn与xn+1的关系.

选做题

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图8，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D.

（1）求证：AC2=AP·AD；

（2）若∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为 的中点，求AD的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标与参数方程

已知直线l经过点P（1，1），且l的一个方向向量v=（ ，1）.

（1）写出直线l的参数方程；

（2）设l与圆x2+y2=9相交于两点A，B，求点P到A，B两点间的距离之积.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知x-a< ，y-b< ，求证：2x-3y-2a+3b