基于灰色马尔可夫模型的医学影像检查量预测

倪杭建，何必仕，徐哲，朱大荣，钮罗涌

1.杭州电子科技大学，浙江 杭州310018；2.杭州市第一人民医院，浙江 杭州 310006

基于灰色马尔可夫模型的医学影像检查量预测

倪杭建1，何必仕1，徐哲1，朱大荣2，钮罗涌2

1.杭州电子科技大学，浙江 杭州310018；2.杭州市第一人民医院，浙江 杭州 310006

0 前言

医学影像检查量预测对于医院医疗管理决策有着重要意义，当前已有不少学者开展了相关研究。伍平阳等[1]利用线性回归方法预测了相关科室的检查量。霍洪波等[2]使用灰色GM(1,1)模型对影像科的CT检查量进行了预测，并以此分析了影像设备绩效。吴佳峰等[3]使用ARIMA时序法对影像科的CT、US和MR检查量进行了分析预测，同时将预测结果应用于医疗设备采购以及医疗人员的合理安排上。但上述研究中，采用的医学影像检查量预测方法在分析波动性较大的时序数列时，会产生较大的误差。

灰色模型要求的原始数据量少，无需考虑复杂因素，适用于影像科检查量的预测，但对于随机波动性大的数据序列，其预测精度不高，拟合效果不好。而马尔可夫模型则能较好地分析出数据序列对于外界因素影响的随机性，可适应波动性大的时间序列。因此，针对影像科检查量受外界因素影响大、波动性强的特点，本研究拟采用灰色模型与马尔可夫模型相结合的方法来对影像科检查量进行预测，以提高预测精度。

1 数据初步分析

本研究以某三甲医院影像信息系统（RIS/PACS）数年积累的海量数据为例，根据患者类型进行分类，得到了其2005～2011年的检查数据量（表1）以及患者类型的检查量趋势（图1）。由图1可知，各类型检查量虽整体逐年递增，但存在较大的波动性。

同时，根据图1和表1，可将年份数据下钻到月份，具体以2011年为例，得到的相关检查量趋势图，见图2。

表1 某三甲医院2005～2011年患者检查量表（例）

图1 患者类型检查量趋势图（年份）

图2 患者类型检查量趋势图（2011年）

2 灰色GM(1,1)模型预测分析

本研究以2011年的门诊检查量为例来验证灰色马尔可夫模型的有效性。选取2011年1～11月的数据，以预测12月的检查量为目标来进行建模。

2.1 灰色GM(1,1)模型构建

2.1.1 灰色GM(1,1)模型[4]

定义：设时间序列有n个观察值：

(1)式为GM(1,1)的原始形式，紧邻均值生成序列为：

得GM(1,1)的灰色微分方程为：

上式中，a称为发展灰数，b称为内生控制灰数，灰色微分方程的白化方程为：

白化方程的解如下：

GM(1,1)灰微分方程的时间响应序列为：

累减后的预测方程为：

2.1.2 灰色GM(1,1)模型检验

得到预测数据后，必须经过检验才能判定模型的优良性。检验一般分残差检验、关联度检验和后验差检验，本研究以残差检验为主。残差检验是对模型的预测还原值与实际值的残差进行逐点检验，主要参数有绝对残差、相对残差()以及平均相对残差。给定α，当＜α且＜α都成立时，则称模型为残差合格模型。其中具体的判定标准为：相对残差在（0,0.02]内为优，在（0.02,0.05]内为合格，在（0.05,0.10 ]内为勉强合格，＞0.10则为不合格。

2.2 灰色GM(1,1)模型的应用

以上述理论为基础，将其应用到2011年门诊检查类型的分析上。由RIS数据库得到2011年的原始数据为（2011年12月的数据为预测量，所以未加入原始数据）： X(0)={10767, 11074,14770,14273,15118,14385,14867,15445,12992,13862,13902}。

然后再进行1-AGO（一次累加），得到累加序列为： X(1)= {10767,21841,36611,50884,66002,80387,95254,110699,123691, 137553,151455}。

紧邻均值生成序列则为： Z(1)={16300,29230,43750,58440, 73190,87820,130620,144500}。

根据上面的数据，利用最小二乘法可得参数a、b为：a=-0.0058，b=13602。-a＜0.3，故该原始数据序列适合中长期预测。由a、b的值可得到灰微分方程的时间响应序列：

2.3 灰色GM(1,1)模型预测结果

2011年1～11月门诊的预测检查量，见表2。实际值与预测值的对比图，见图3。由表2可知，灰色GM(1,1)预测模型的平均误差为7.41%，说明该预测结果勉强合格，但最大误差为23.75%，明显偏大。从图3可以看出，灰色GM(1,1)模型预测的曲线是较为平滑递增的，而实际值的波动性却比较大，证实灰色GM(1,1)模型不适用于波动性大的时间序列。

表2 2011年门诊检查量灰色预测值与实际值对比（例）

图3 2011年门诊检查量灰色预测值与实际值对比图

3 灰色马尔可夫模型预测分析

3.1 马尔可夫链的基本概念

3.1.1 马尔可夫链

定义：设随机过程{X(t),t∈T}，其中时间T={0,1,2,...},状态空间I={0,1,2,...}，若对任一时刻n，以及任意状态

则称{X(t),t∈T}为1个马尔可夫链，并称上面的等式为马尔可夫的无后效性。

3.1.2 转移概率

马氏链由状态i经过m步转移之后到达状态j的状态转移概率为:

其中Mij(m)为由状态i经过m步到状态j的次数，而Mi为状态i出现的次数。

3.1.3 转移矩阵

由1步转移概率为元素构成的矩阵P(1)为1步转移矩阵P=(pij)，由n步转移概率为元素组成的矩阵为n步转移矩阵P(n)[5-6]，如下:

3.2 灰色马尔可夫模型预测的基本步骤

3.2.1 状态划分

状态划分主要是根据灰色GM(1,1)模型预测所得到的数据序列的分布区间进行划分，可以使用E1,E2,…,En表示对应区间[7-8]。一般对状态划分主要使用残差划分或实际值与预测值的相对值来界定状态。本研究以2011年门诊实际检查量与灰色GM(1,1)模型预测检查量的相对值作为划分标准，得到的相对值，见表3。由表3可知，相对值的分布区间为[0.81,1.09]。结合实际情况以及经多次分析对比后，决定根据相对值将其划分为( 0.80,0.90 ], ( 0.90,1.00 ],( 1.00,1.05 ], ( 1.05,1.10 ] 4个状态（状态分布见表4）。最后还可以将门诊实际检查值、GM(1,1)预测值以及刚得到的4个状态制成状态图（图4）。由图4可知，上面4个状态的划分形成了与灰色GM(1,1)预测值相互平行的4条曲线。

表3 2011年门诊检查量状态划分表

图4 2011年门诊检查量状态划分图

3.2.2 计算状态转移矩阵

根据上述划分的4个状态，由状态转移矩阵的原理以及上述公式，可以分别得到1步到4步状态的转移矩阵，如下所示：

3.2.3 计算预测值

由状态转移矩阵就能判断出要预测的数据序列所在的状态，并能依据此状态对灰色预测值进行修改。现以预测2011年12月门诊检查量为例来验证灰色马尔可夫模型的优化性能。选择距离2011年12月门诊检查量最近的4个月份，并构建状态预测计算表，见表4。

表4 2011年12月份状态预测计算表

根据表4可以得出，12月份门诊检查量在状态2的概率最大，因此将12月份的门诊检查量划分为状态2。灰色GM(1,1)模型对于12月份的检查预测量为。而马尔可夫模型预测区间由状态2可得：

对状态2取中间值即可得到12月份的灰色马尔可夫模型预测值为。与实际值13589对比可知，灰色马尔可夫模型的相对误差为1.53%，对比灰色GM(1,1)模型预测的相对误差6.87%，灰色马尔可夫模型的预测精度要比灰色模型的预测精度高。

3.2.4 误差对比

应用2011年1～11月的灰色GM(1,1)预测值，根据状态区间计算方法，得到对应的1～11月的灰色马尔可夫模型的预测值。将实际值、灰色GM(1,1)的预测值以及灰色马尔可夫的预测值进行作图分析，结果见图5。

图5 门诊检查量预测值对比图

由图5可知，灰色GM(1,1)模型能大致预测检查趋势，但不能很好地反映实际值的波动性；而灰色马尔可夫模型预测曲线的拟合度明显优于灰色GM(1,1)模型，能较好地反应出门诊检查量的随机波动性。

再从误差精度角度分析灰色GM(1,1)模型与灰色马尔可夫模型的优良性。使用残差检验计算出两种模型预测值的残差，计算结果见表5。

由表5可知，使用灰色GM(1,1)模型预测门诊检查量的平均相对误差为7.41%，精度等级为勉强合格；而使用灰色马尔可夫模型预测门诊检查量的平均相对误差为1.81%，精度等级为优，证实了灰色马尔可夫模型与灰色GM(1,1)模型相比，在医学影像检查量预测方面具有明显的优势。

4 结论

本研究在灰色GM(1,1)模型的基础上，建立了灰色马尔可夫模型，对门诊检查量进行了预测。灰色GM(1,1)模型能有效地模拟出预测值的总体趋势，而灰色马尔可夫模型则能很好地解决随机波动性问题，且其预测精度更高，能更好地拟合实际值，值得临床推广。

[1] 伍平阳,林意群,林木炎．基于数据挖掘技术的医疗设备绩效预测方法的应用研究[J]．南方医科大学学报,2008,28(2):222．

[2] 霍洪波,何必仕,吴斌,等．基于数据仓库的医疗设备绩效统计分析[J]．中国医疗设备,2013,28(9):27-30．

[3] 吴佳峰,徐哲,何必仕,等．数据挖掘技术在医学影像信息系统中的应用[J]．中国数字医学,2012,7(10):85-87．

[4] 张恩明,王艳,李文红．改进的灰色马尔可夫模型在股票分析中的应用[J]．哈尔滨工程大学学报,2007,(11):1292．

[5] 杨德平,刘喜华,孙海涛．经济预测方法及MATLAB实现[M]．北京:机械工业出版社,2012:239．

[6] 张林华,刘玉洲．利用灰色马尔可夫模型预测煤矿安全事故[J]．煤炭科学技术,2006,34(11):26．

[7] 李小芳,孙宝盛,司志娟．基于灰色马尔可夫模型的城市污水量预测[J]．环境工程学报,2013,7(1):237．

[8] 严薇荣,冉鹏,徐勇,等．基于灰色马尔可夫模型的伤寒副伤寒发病率预测[J]．数理医药学杂志,2008,21(2):137-139．

Prediction about the Quantity of Medical Imaging Examinations Based on the Grey Markov Model

NI Hang-jian1, HE Bi-shi1, XU Zhe1, ZHU Da-rong2, NIU Luo-yong2

1.Hangzhou Dianzi University, Hangzhou Zhejiang 310018, China; 2.Hangzhou First People's Hospital, Hangzhou Zhejiang 310006, China

医学影像检查量预测对于医院医疗管理决策有着重要意义。但医学影像检查量受外界因素影响大、波动性强，常规预测方法易造成较大偏差。本文提出了一种基于灰色马尔可夫模型的医学影像检查量预测方法，该方法结合了灰色模型与马尔可夫模型，提高了医学影像检查量的预测精度，解决了其随机波动性问题，可为管理决策提供更准确的参考信息。

灰色模型；灰色马尔可夫模型；医学影像；检查量预测

Prediction about the quantity of medical imaging examinations played a significant role in policy-making of medical management in the hospital. However, since external factors can exert big influence on the quantity of medical imaging examinations and cause wide fluctuations, conventional methods cannot make a precise prediction. Hence, a new method that combined grey model and markov model was proposed in this paper to predict the quantity of medical imaging examinations. It improved the prediction accuracy, eliminated the wide fluctuations and provided a more accurate reference for decision-making of medical management.

grey model; grey markov model; medical imaging; prediction about the quantity of examinations

TP311.13

A

10.3969/j.issn.1674-1633.2015.02.006

1674-1633(2015)02-0025-04

2014-11-28

杭州市科技项目资助（20132231E09）。

作者邮箱：nihangjian0518@163．com