谈初中生数学抽象能力与数学概括能力的培养

徐海燕

[摘 要] 数学是研究数与形的学科，学生的数学抽象能力与数学概括能力的培养，应当成为学生数学学习能力培养的基础. 初中数学抽象能力与概括能力的培养，应当以数学内容为载体，在基础与途径上做文章，具体包括基于数学概念与命题、基于数学建模与方法等.

[关键词] 初中数学；数学抽象；数学概括；能力培养

在初中数学教学中，学生的能力培养是关键，而能力培养又不是一个空洞的概念，能力总是与一个学科具体的特点有着密切的联系，理解这一点，那能力培养就不会成为一句空话. 数学是研究数与形的学科，数与形总是以抽象的形态出现在人们面前，而抽象的结果又是经过概括等过程产生的，因而学生的数学抽象能力与数学概括能力的培养，应当成为学生数学学习能力培养的基础. 初中数学教学内容以概念、命题和规律为基础，以数学建模和数学方法为途径，因此数学抽象与数学概括能力的培养，应当以数学内容为载体，在基础与途径上做足文章.

基于数学概念与命题的抽象概

括能力

一般认为，数学概念就是在数学研究的过程中，基于对数学对象本质属性而进行的抽象概括过程. 因此，概念学习本身就是抽象概括能力培养的过程. 基于这样的认识，笔者以为，在初中数学教学中，应当在概念教学之时给学生提供丰富的事例，以让学生能够对这些实例进行充分地分析与综合、归纳与演绎，这样才能让学生在对实例进行分析的过程中，领略一种共同属性，而这便是概念的本质意义所在.

譬如，在“分式”（人民教育出版社《数学》八年级下册）的教学中，分式概念的建立就是一个重要的教学内容，这种重要性不仅体现在分式概念是后续数学知识学习的基础上，更体现在分式概念建立过程中可以进一步有效地培养学生的抽象概括能力上. 在教材中，通过学习一艘轮船在顺水及逆水中航行的例子，给出轮船的航速及相关数据，要学生求出江水的流速. 在学生解答的过程中，自然会生出■和■的式子，从而引入分式的概念. 如果注意教材的编排，便会发现紧跟其后还有两个例子：一是与长方形面积相关的例子；二为圆柱形容器的体积与水的高度的关系. 如果再仔细分析的话，还会发现这两个例子中分别用数据和符号提出了问题，并要求学生求解. 这三个例子，建立在了学生原有熟悉的数学事例基础上，因而从学生学习心理的角度来看，可以以原有的直觉进行加工，而三个例子的分析则可以让学生在不同的情境中获得同样的分式认知，在此基础上去综合三个例子的共同点，并分析这些共同点与分数有什么相同点与不同点，便会发现分式（当然此时分式概念尚未给出）与分数具有相同的形式，但分式的分母上都含有字母. 这实际上便完成了一个概括的过程！而分式的定义“一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子■就叫做分式”本身就是抽象的结果——从实例抽象成具体的分式定义. 从这个时候起，“分式”这一概念就包括了定义所述的内容，并不断运用于新的数学知识学习当中.

又如“函数”概念的建立，关键在于让学生认识到变量之间的关系并用表达式描述之. 多年的教学经验表明，函数概念的建立对于学生来说并不是一件轻而易举的事情，而其中的原因又多是因为学生在函数概念建立的过程中未曾经历一个充分的抽象与概括的过程. 笔者在教学过程中，先给学生设计了三个问题：（1）如果一汽车行进的速度是60 km/h，求其路程与时间的关系；（2）某容器内溶液的体积与溶液深度的关系；（3）某城市某年温度与时间的关系. 对学生而言，根据三种情况下的关系列出相应的等式并不是一件难事，难的是对三者的分析，并在此基础上概括出各例中两个变量之间的关系. 这个时候往往需要教师的引导，并让学生最终发现：两个变量之间总存在一定的依存关系，一个变量总会随着另一个变量而变化，并且在有的情形之下，变量存在变化范围. 这实际上是一个概括的过程，在概括的基础上可以引导学生进行抽象，从而得出对函数的初步理解. 比如，有学生会说：“如果一个变量随着另一个变量而变化，那这个变量就叫做另一个变量的函数”，也有学生会说“如果两个变量之间存在着对应的变化关系或依存关系，那一个变量就叫做另一个变量的函数”，这是一个初步抽象的过程，进一步的抽象与概括，可以引导学生将抽象出的本质属性推广到其他同类事物，进而形成科学的函数概念，并赋予一定的定义.

事实上，数学命题与数学概念从形式上看有着明显的区别，但从生成过程上来看，同样具有抽象与概括等思维过程，因此数学概念与命题得出的过程既是抽象与概括的过程，又是培养学生抽象与概括能力的过程.

基于数学建模与方法的抽象概

括能力

相对于数学概念与命题而言，隐藏在它们后面的数学建模等思想与方法，与数学抽象与概括也有着密切的关系，换句话说，数学建模与方法也是培养学生抽象与概括能力的好时机.

笔者在教学中曾经尝试给学生这样一个例子：已知a，b，x，y均属于正实数，且a，b满足a2+b2=1的关系，x，y满足x2+y2=1的关系. 试证明：ax+by≤1. 这是笔者在中考复习过程中给学生提供的一个例子. 在传统的解题思路中，教师往往会满足于学生的一种解题思路，也就是说，目的只放在问题本身得到解决上. 可事实上，如果本题能够从抽象与概括的角度，通过一个问题背后的多种解决思路，让学生经由不同的抽象过程，然后概括出此问题的所有解题思路背后的解题思想，那就可以有效地提升学生的数学学习能力，自然，这种数学学习能力的提升，是以概括和抽象能力的培养为基础的.

实际教学中，笔者引导学生从多角度对本题进行思考，即先进行抽象. 如先从代数的思路去思考，便可以得出这样的关系：a2+x2≥2ax，b2+y2≥2by，于是可以得出a2+x2 +b2+y2≥2（ax+by），从而得出ax+by≤1. 这种代数思路一般来说学生比较熟悉，因此可以作为第一种教学思路，可以作为学生面对此问题时的第一思维.endprint

此时可以先引导学生进行反思，即引导学生思考这一解题思路是如何得出的. 在这个过程中，可以重点引导学生思考从问题到思路的抽象过程，即重在培养学生的抽象意识——因为之前已经进行过抽象，抽象能力已经得到锻炼，但学生未必会形成抽象意识，这种意识往往是通过反思得到强化的.

在此基础上，再引导学生从几何的角度思考，结合单位圆的知识，将a，b，x，y看做是单位圆中分别对应着直径的两条弦，这样，a和b、x和y与各自对应的直径就组成了一个直角三角形（如图1），此时借助ax+by=AB·CD（这个关系在数学上是一个基本规律，初中阶段可能未有涉猎，但可以提供给学生，也算是培养学生运用陌生工具进行探究的能力），显然，CD≤AB，即CD≤1，因此原结论也就得到了证明.

如果学生此时的抽象能力和概括能力得到明显体现，那还可以再向学生提问：不是可以从其他角度进行思考吗？一般来说，学生此时难以想到其他方法，但如果教师结合题中a2+b2=1和x2+y2=1的特征，引导学生从三角函数的关系进行思考，就能让学生的思维拓展到将a，b，x，y设成关于某两个角的正弦与余弦函数，那就可以引导学生利用三角函数的关系使本题得到求解（具体过程略）.

这样，在学生面前就出现了三种解题方法，这三种方法可以交由学生进一步分析并概括，分析的结果显然是这三种解题思路的角度完全不同，因而在学生面前解题视角就是多元的，而一旦学生概括出多元的解题思路，那对于学生来说就是一种数学学习能力的提升.

数学抽象与数学概括能力培养

的思考

课程改革至今已经进行了十多年，有效教学的讨论也进行了好几年，最终其实都是为了培养学生的能力. 就初中数学教学而言，需要培养的自然就是数学学习能力，只是数学学习能力是一个宏观的概念，其是由多种能力组成的，其中，数学抽象与数学概括能力是能力培养的基础.

研究表明，数学抽象能力决定着学生的数学认识，而概括则是思维能力的根本，没有概括就谈不上思维能力的培养. 笔者经过研究，发现能力的培养不能是一句空话，尤其是抽象能力与概括能力的培养，一定要借助最为基本的数学内容来进行. 没有内容的教学，就没有方法的运用，也就没有能力的培养. 需要注意的是，数学教师在教学的过程中，不仅要关注学生对知识的掌握程度，更要关注学生在掌握知识的过程中，运用到了哪些方法，可以培养什么样的能力. 也就是说，要将能力因素作为教学设计的一条主线，只有这样，包括抽象能力与概括能力在内的能力培养才能落到实处.endprint