基于轴矩限幅控制的机械谐振抑制技术

杨明， 王璨， 徐殿国

(哈尔滨工业大学电气工程系，黑龙江哈尔滨150001)

基于轴矩限幅控制的机械谐振抑制技术

杨明， 王璨， 徐殿国

(哈尔滨工业大学电气工程系，黑龙江哈尔滨150001)

为了探究伺服驱动系统中，由于机械传动装置有限的刚度而引发的机械谐振现象，甚至当振幅较大，超过轴系所能承受的最大转矩范围而引发系统安全问题，在双惯量弹性系统模型基础上，研究速度环控制器的4种不同实现方法的控制性能，即工程设计法、极点配置法、轴矩状态反馈法设计的PI控制器和模型预测控制器。通过4种方法的仿真结果，分析了相应的控制效果，同时验证了模型预测控制为最优的控制策略:在抑制机械谐振的同时，可以在保证系统快速动态性能的基础上，对轴矩实现任意限幅功能，从而加强系统运行的安全性。

伺服驱动系统;机械谐振;轴矩限幅;模型预测控制

0 引 言

伺服驱动系统的机械传动部分经常使用到传动轴、变速器、联轴器等传动装置连接电机和负载，而实际传动装置并不是理想刚体，存在一定的弹性，通常会在系统中引发机械谐振。机械振荡除了会发出声学噪声形成噪声污染外，还会对机械传动装置造成严重的损害，影响其使用寿命［1］。特别地，驱动系统综合控制分析时经常忽略机械连接的扭转特性，这一点会严重影响驱动系统的转矩传输特性并给弹性轴带来较大的偏角振荡［2-3］。在长期振荡工作状态下，或是振荡较强超过轴的承受范围时，会使整个系统的性能下降，减损轴的寿命，造成断轴等严重的生产事故。因此，有效抑制机械振荡以及优化传动装置运行的方法已经成为提高伺服驱动系统性能的重要课题。

避免机械谐振的方法有很多，大致分为2类:被动方式和主动方式。被动方式为在速度环输出与电流环给定之间插入陷波滤波器，而控制系统其他设计不变;主动方式为主动改变控制其参数或结构来消除谐振的影响，可分为单纯PI控制(双自由度PI控制、RRc)、基于PI的状态反馈控制、其他高级算法等等多种方案。然而，这些控制方法中却只有一小部分将驱动系统中状态变量的物理及安全极限考虑在内。

目前，国内外在抑制轴矩振荡及其限幅的工作中主要体现为以下几种策略:

若想提高系统某个状态变量的响应性能，可通过该状态变量的相应反馈来实现。于是，以提高轴矩状态响应为目的，文献［4］针对P控制器与PI控制器，结合状态电机负载转速差与轴矩反馈策略使系统负载速度振荡有所下降，同时对交轴电流产生一定的限幅作用。文献［5］在轴矩状态反馈及电机负载转速差状态反馈的基础上增加扰动转矩及其微分形式的反馈，以补偿系统的零点，提高系统的抗扰性能。

然而，虽然状态反馈一定程度上对系统某些状态变量产生一定限幅作用，但不能同时保证系统的动态性能，因此需适当引入高级算法。文献［6］在驱动系统运行时某些变量受到的物理及安全限制问题提出了一种新的策略。该方法为速度控制器引入一个鲁棒的预测补丁。此补丁的精髓在于在一组容许的状态变量范围内计算最大鲁棒控制变量集［7］，在此变量集内实现对系统内所有存在安全极限的变量幅值的控制。

在限制驱动系统状态变量幅值控制中最常见的方法是MPc算法。虽然已有一些业内人士将预测控制实用于电力驱动系统中速度、转矩、电流、磁通量等状态控制中，但焦点却很少能集中在多惯量驱动系统中。文献［8］采用MPc对被控对象的速度控制器输出进行优化，结果表明，当负载侧转动惯量变化时，适当选择MPc的系统权重矩阵，可使负载速度获得稳定的响应及较好的振荡抑制效果。文献［9-11］利用卡尔曼滤波器观测出系统其他状态变量，进而实施MPc策略，使系统可在负载惯量变化较广的范围内保证电磁转矩、轴矩与负载转速在安全运行时满足鲁棒控制。此外，系统可将轴矩状态限定在任意值，并在保证不影响系统动态特性的条件下获取“准时间最优控制”。文献［11］对传统的MPc与Explicit MPc(EMPc)进行对比，并指出虽然二者在数学算法中是等价的，但后者可进行实时计算，因此实现起来更快更可靠。

本文针对伺服驱动系统中由弹性传动轴系引起的机械谐振及轴系安全性进行研究。首先建立系统模型，并对基于PI和MPc的传动系统分别设计。其中PI控制器的设计包括3种，即工程法、极点配置法和轴矩状态反馈法。突出贡献在于在轴系安全性问题上对比分析了4种方法的不同控制效果。最终，理论分析和仿真实验验证了MPc的优越性。

1 双惯量弹性系统建模

实际工业应用中，数控加工设备的机械结构等许多伺服驱动系统均可简化为双惯量弹性系统，模型图如图1所示。

图1 双惯量系统结构图Fig.1 Schematic diagram of the two-mass flexible system

电机和执行机构通过传动轴系连接，传动轴系具有一定的抗扭刚度Ks且其阻尼系数为D。当传动轴系发生扭转形变时轴系将产生转矩Ts，转矩的大小受到轴系电机端与执行机构端旋转角的差值，和轴系的机械阻尼影响。伺服驱动器控制电机运行，为电机的转轴提供电磁转矩Te。电机端电磁转矩Te和传动轴系转矩Ts作用于转动惯量为J1、阻尼系数为C1的电机转轴，对其速度产生影响。在执行机构端，执行机构具有大小为J2的等效转动惯量以及阻尼系数C2，传动轴系转矩Ts与负载转矩TL共同作用于执行机构最终决定了执行机构的转速。

根据以上理论分析，建立如下微分方程组:

为了进一步分析机械模型，需要对以上微分方程组进行拉普拉斯变换，同时忽略对系统影响较小的阻尼系数。由此可得化简后的双惯量弹性系统框图如图2所示。其中ωr代表系统给定转速。

图2 双惯量弹性系统结构框图Fig.2 Block diagram of the two-mass flexible system

2 MPC法抑制机械谐振、限制轴矩状态幅值

模型预测控制又称为滚动时域控制，是近年来被广泛讨论的一种反馈控制策略。

预测控制起源于工业界，意在解决PID控制不易解决的多变量约束优化控制问题。MPc适用范围非常广泛，可以处理时变或者非时变、线性或者非线性、有时滞或者无时滞的系统的约束最优控制问题。

2.1 MPC原理

以熟悉的状态空间模型为例，作为可以预测系统未来动态的模型。线性离散化状态方程，为

图3所示为MPc预测原理图，图中r(.)为系统的给定指令，y(p)为系统输出，Np与Nu分别表示预测时域与控制域大小，u为系统的控制输入。在当前时刻k，从被控系统得到测量值y(k)。

图3 模型预测控制原理图Fig.3 Schematic diagram of MPC

控制目标是寻找最优的控制输入，使系统输出y(p)与期望的输出，即参考输入{r(k+1)，r(k+ 2)，…，r(k+Np)}，越接近越好，即图3中的阴影部分面积最小，同时满足系统的控制约束和输出约束:

为此，用预测输出与期望输出之间的累积误差定义一个最简单的优化目标函数:

那么，“寻找最佳控制输入”的问题可以描述为如下的优化控制问题。

于是，预测控制的基本原理可以概括为:在每个采样时刻用最新得到的测量值刷新优化问题1，将得到的优化解的第一个分量u*(k|k)作用于系统，如此循环往复至永远，即k→∞。

将x=Axk|k+BU带入式(4)中，MPC问题可转化为求解下面的二次规划QP问题:

其中，向量H、F、Y与状态方程向量A、B有如下关系:H=BTQB+R，F=ATQB，Y=ATQA。同时，矩阵G、W、E也可从式(4)、式(5)中得到。最优解表示问题(5)对参数x的最优控制变量。

为了在实际系统中实现MPc，需考虑计算的快速性，因此须将其做算法的简化，减小计算量，从而设计出实际中可应用的简化MPc控制器(EMPc)。

引入变量z=U+H-1FTx(k)，优化问题(5)可转化为如下形式:

其中矩阵S=E+GH-1FT。于是，式(5)描述的二次时不变系统约束最优化控制问题便转化成了式(7)标准二次最优化问题。此问题可应用KKT条件［12］结合求解QP问题的积极集法便可得到EMPc离线过程的最优解，即得到状态分区级响应状态分区上的控制率，保存这些数据，供EMPc在线过程使用。

2.2 基于双惯量弹性系统的MPC设计

以上分析了模型预测控制的原理及实际中的算法过程。该节针对双惯量弹性系统设计简化的MPc控制率，以达到谐振的抑制及较好的轴矩状态限幅功能。基于MPc的系统框图如图4所示。

图4 基于简化MPC的双惯量系统框图Fig.4 Two-mass drive system control structure w ith exp licit MPC

该模型下的滚动预测过程可描述如下:首先，在当前时刻用观测器观测到的系统负载转速、轴矩、负载转矩和系统给定速度、电机速度提供给MPc控制器，MPc控制器通过计算评价函数，得到控制量Te含Np个分量的优化序列，将第一个分量u*(k|k)作用于系统，从而完成第一次滚动控制。在下一个采样时刻，循环此过程至k→∞。然而该过程的计算量非常大，导致控制器失效，因此，将MPc转化为EMPc，先离线计算系统所有的输入与状态所对应的输出，系统实际运行时只需查表就可找到最优的控制序列。

为了计算EMPc控制率并满足对系统状态和控制量的约束性，设计带有额外状态变量的增广系统模型(8)，其考虑了突加负载及给定转速的影响。

为了保证系统运行时电磁转矩不超过最大允许值，需设定其输出范围，¯Te为电磁转矩输出的临界值，可根据需要相应设置。

此外，为有效地防止系统在暂态运行时，传动轴系过为强烈的扭转振荡。传动轴系所能承受的最大扭转力应不超过轴系的最大允许扭转力极限和轴系所用材质的输出要求极限，因此，需设置下面保护限幅:

这里，¯Ts为任意设置参数，可被用于评定MPc控制策略的限幅能力与随后产生的闭环响应性能。

在选择MPc控制域和预测域时，虽然较大的预测域意味着主要的系统动态均可在预测窗中体现，但同时会给系统带来大量的控制作用，增加了算法的复杂程度。本文的仿真中设置采样时间为0.5ms，折中考虑系统的动态性能与计算量的可实现性，最终将预测域与控制域设置为

较好的选择目标函数中的状态权重与控制量权重，可以在目标达到的基础上，更好的规划系统的性能。本文按照目标重要性排序，设计速度权重比例大于轴矩权重。此外，目标函数中状态的权重可转化为输出量y的权重，输出量定义如下:

目标函数中的权重系数设置如下:

3 四种策略的仿真验证

仿真中所使用的永磁同步伺服系统主要参数如下:电机额定功率800W，额定转矩4 N.m，额定转速200 rad/s，电机轴转动惯量1.1 e-3N.m2，传动轴弹性903 N.m/rad，负载惯量2.8 e-3N.m2，系统抗谐振频率90.4 Hz，自然谐振频率170.3 Hz。

系统给定10%和100%额定转速;电磁转矩限幅为3倍额定转矩;突加负载类型为摩擦型转矩，大小为4 N.m。根据以上参数对系统进行仿真实验。

首先将速度控制器用PI控制器实现。分别利用工程法、极点配置法与轴矩状态反馈法设计控制器。

所谓工程法，即在纯刚性系统，不考虑传动轴弹性的情境下设计的PI参数，仿真如图5所示。

图5 工程法实现的双惯量系统阶跃响应Fig.5 Simulation transients of the two-mass drive system corresponding to engineering design method

此时，系统振荡较为强烈，且轴矩的幅值已超出轴系最大承受范围。因此引入极点配置法，试图在考虑弹性的基础上改善系统性能。

电机给定转速到负载速度的传递函数为

G(s)分母中存在4个极点，配置为

由于相同阻尼系数的极点配置法在实际应用中更广泛，选择该方法优化PI控制器参数，令ζ1=ζ2= 0.707(极点设置在与负实轴呈45。角的虚线上)，极点分布如图6所示。相应仿真如图7所示。

图6 相同阻尼系数的极点分布图Fig.6 Distribution of poles w ith identical damping

图7 极点配置法得到的转速、转矩阶跃响应Fig.7 Simulation transients of the two-mass drive system corresponding to pole-placementmethod

虽然振荡现象有了明显的抑制效果，但轴矩幅值仍然很大，无法保证系统安全。为改善轴矩响应，使系统安全运行，下一步采用轴矩状态反馈方式，通过对反馈系数K的调节，来增加系统极点参数的自由度，从而提高系统动态性能。系统框图如图8所示。

图8 基于轴矩状态反馈的PI控制双惯量系统框图Fig.8 Two-mass drive system control structure based on shaft torque feedback method

与无反馈的控制结构相比，增加轴矩状态反馈后，系统两对共轭极点中其中一对的自然角频率可根据需要设置为任意值。仿真结果如下图所示。

图9 轴矩状态反馈法得到的转速、转矩阶跃响应Fig.9 Simulation transients of the two-mass drive system corresponding to shaft torque feedback method

此时，虽然系统可安全运行，但动态性能较差，因此，利用MPc法试图改善系统动态性能。

MPc可以使轴矩响应以任意幅值限幅，保证系统安全性的同时，得到最佳的动态响应。理论上可以使系统的极点任意配置，从而获得最优动态响应。

图10 MPC法得到的转速、转矩阶跃响应Fig.10 Simulation transients of the two-mass drive system corresponding to MPC method

图10(a)(b)中，当给定转速较小，由于电磁转矩稳定工作在线性区域，没有达到限幅值，因此设定轴矩限幅¯Ts≤5;图(c)(d)由于给定转速较大，电磁转矩以恒定限幅值饱和工作，设定¯Ts≤8，从而较明显的看出MPc对带有限定条件的系统的有效性。

针对MPc对轴矩的任意限幅功能，通过依次将限幅值设定为5，7，9，11 N.m的情况，如图11所示。MPc法在实现机械谐振抑制的同时，以设定的轴矩限幅值驱动负载，增强了传动轴系的安全性。

图11 MPC法实现的轴矩任意限幅Fig.11 Random torque amplitude lim iting control based on M PC

此外，由图10与图11可知，系统突加负载时，速度与转矩波形均会出现尖峰，其原因在于所设计的MPc控制器根本优势在于实现快速速度跟踪与轴矩限幅。而相对于电机侧速度与电磁转矩，提高负载端速度与轴矩的动态响应才是实际系统追求的根本所在。因此，电机侧的状态量会提前做出预判，出现尖峰，带动负载侧响应，从而使负载侧速度能够快速跟踪给定，轴矩实现限幅功能。

输入信号变为幅值100 rad/s，频率60 rad/s的正弦信号，轴矩反馈法与MPc法对应的速度与转矩波形分别如图12(a)(b)与图12(c)(d)所示。

图12 轴矩状态反馈法与MPC法得到的转速、转矩正弦响应Fig.12 Sinusoidal responses of the two-mass d rive system

对比可知，轴矩状态反馈法只能一定程度上限制轴矩幅值，而MPc法可在实现轴矩限幅的同时，使轴矩相应平滑不振荡，保证系统的快速动态响应。

综上所述，4种策略的优缺点对比如下。

表1 4种策略的优缺点对比Table 1 The advantage and disadvantages of the four strategies

4 结 论

本文针对伺服驱动系统中由于弹性传动装置引发的机械振荡及轴系的安全问题，研究了4种解决方案，其性能对比如表1所示。本文的突出贡献在于在轴系安全性问题上对比分析了4种方法的不同控制效果。工程设计法只能在纯刚性系统下抑制系统谐振现象;相同阻尼系数的极点配置法可以在一定程度上抑制弹性系统的机械谐振现象，但轴矩幅值会超过轴系所能承受的最大转矩;在此基础上增加轴矩状态反馈，能够成功降低了轴矩幅值，但轴矩响应仍然振荡;MPc法可在抑制机械谐振、实现轴矩任意限幅的同时，保证系统快速的动态性能。最终，理论分析和仿真实验验证了MPc的优越性。

MPc策略的有效性，使我们设想下一步是否可以在此基础上研究考虑间隙的三惯量系统机械谐振的抑制与轴矩的限幅控制。

［1］ 杨明，胡浩，徐殿国.永磁交流伺服系统机械谐振成因及其抑制［J］.电机与控制学报，2012，16(1):79-84. YANG Ming，HU Hao，XU Dianguo.cause and suppression of mechanical resonance in PMSM servo system［J］.Electric Machines and control，2012，16(1):79-84.

［2］ QIN S J，BADGWELL T A.A survey of industrialmodel predictive control technology［J］.control Engineering Practice，2003，11(7):733-764.

［3］ WU Y，FUJIKAWA K，KOBAYASHIH.A torque controlmethod of two-mass resonant system with PID-P controller［c］//1998 5th InternationalWorkshop on Advanced Motion control，June 29-July 1，1998，coimbra.1998:240-245.

［4］ BAHR A，BEINEKE S.Mechanical resonance damping in an industrial servo drive［c］//2007 European conference on Power E-lectronics and Applications，Sept2-5，2007，Aalborg.2007:1 -10.

［5］ SZABAT K，ORLOWSKA-KOWALSKA T.Optimization of the two-mass drive dynamics using different compensation feedbacks［c］//2008 11th International conference on Optimization of E-lectrical and Electronic Equipment(OPTIM)，May 22-24，2008，Brasov.2008:19-24.

［6］ VASAK M，PERIc N.Robust invariant set-based protection of multi-mass electrical drives［J］.The International Journal For computation And Mathematics In Electrical And Electronic Engineering，2010，29(1):205-220.

［7］ VASAK M，PERIc N.Protective predictive control of electrical drives with elastic transmission［c］//13th International Power E-lectronics and Motion control conference EPE-PEMc 2008，Sept. 1-3，2008，Poznan.2008:2235-2240.

［8］ c Yc HOWSKIM，DO c，SERKIESP，et al.Position tracking in electrical drives with elastic coupling using model predictive control［c］//IEcON 2010-36th Annual conference of the IEEE Industrial Electronics Society，Nov.7-10，2010，Glendale，AZ. 2010:956-961.

［9］ SZABAT K，SERKIES P，c YcHOWSKIM.Application of the MPc to the robust controlof the two-mass drive system［c］//2011 IEEE International Symposium on Industrial Electronics(ISIE)，June 27-30，2011，Gdansk.2011:1901-1906.

［10］ SZABAT K，SERKIES P，ORLOWSKA-KOWALSKA T，et al. Robust torque constraints handling in drive systems with elastic transmission［c］//2010 IEEE International conference on Industrial Technology(Ic IT)，March 14-17，2010，Vi a del Mar. 2010:398-403.

［11］ c Yc HOWSKIM，SZABAT K，ORLOWSKA-KOWALSKA T. constrained model predictive controlof the drive system withmechanical elasticity［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2009，56(6):1963-1973.

［12］ BEMPORAD A，MORARIM，DUA V，et al.The explicit linear quadratic regulator for constrained systems［J］.Automatica，2002，38(1):3-20.

［13］ ZHANG G.Speed control of two-inertia system by PI/PID control［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2000，47 (3):603-609.

(编辑:刘素菊)

Mechanical resonance suppression strategy based on shaft torque amplitude lim iting control

YANGMing， WANG can， XU Dianguo
(Dept of Electrical Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，china)

In servo-drive systems，the stiffness of transmission mechanism is limited which will lead to mechanical resonance and if the oscillation amplitude is larger than the tolerance that the shaft can withstand，itwill lead to the system safety problems.In order to study these problems，based on themodel of two-mass elastic system，the four design schemes of speed controller were analyzed.They are engineering design method，pole placementmethod and shaft torque state feedback，all ofwhich are all based on PI controller andmodel predictive controller.control effects of the four strategieswere compared by the simulation results.Model predictive controllerwas verified as the optimal control strategy which can suppress mechanical resonance successfully.Moreover，based on the fast dynamic performance，the function of shaft torque limit at arbitrary value can be achieved to strengthen the operating safety of the system.

servo system;mechanical resonance;shaft torque amplitude limiting control;MPc

10.15938/j.emc.2015.04.010

TN 911.22

A

1007-449X(2015)04-0058-07

2014-03-12

国家自然科学基金(61273147)

杨 明(1978—)，男，副教授，研究方向为交流伺服系统与智能控制;王 璨(1989—)，女，硕士研究生，研究方向为交流伺服系统;徐殿国(1960—)，男，教授、博士生导师，研究方向为电力电子与电力传动、电机驱动控制、电网统一品质控制。

杨 明