浅谈函数的基本性质的应用

吴加火

（福建省大田县第一中学）

函数简单的理解就是一个量随着另一个量的变化而变化，函数的性质可以简单地分为函数的单调性、对称性、周期性三个基本性质。

一、函数的单调性

函数的单调性，反应的就是函数图象的走势，是学习函数最基本的函数基础，而在学习与考试中则是比较函数的大小，解不等式与求最值。这是函数单调性应用最多的几种题型，例如：已知函数f（x）对任意x,y∈R均满足：f（x+y）=f（x）+f（y）；f（1）=2；当且仅当x＜0时，f（x）＜0，求：当-3≤x≤3时，求f（x）的最大值与最小值。

解：在方程f（x+y）=f（x）+f（y）中取x=0，y=0，可得f0=0，取y=-x，可得f（x）=-f（-x），即函数f（x）是奇函数，在f（x）的定义域R内任取x1，x2，使x1＜x2，即x1-x2＜0则f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在定义域R内是单调递增函数，因为f（1）=2，所以f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，f（-3）=-f（3）=-6，故当-3≤x≤3求f（x）的最大值为6，最小值-6。这就是一道经典的对函数单调性理解的利用而对于函数的单调性的判断一般通过函数的四则运算最终实现。

二、函数的对称性

函数的对称性可以理解为函数图象的对称性以及奇偶函数的对称性。函数图象的对称性一般我们定义为若函数y=f（x）的图象有两条垂直对称轴x=a和x=b（a不等于b）,那么f（x）为周期函数，2|a-b|是它的一个周期。若函数y=f（x）的图象有一个对称中心M（m，n）和一条垂直对称轴x=a，那么f（x）为周期函数，且4|a-m|为它的一个周期。若一个函数的反函数是它本身，那么它的图象关于直线y=x对称。奇偶函数的性质则可以简单地说奇加减奇为偶，偶加减偶为偶，奇乘奇乘为偶，偶乘偶为偶。

三、函数的周性

函数的周期性反映的是函数的重复性，如果函数存在一个非零数使得当定义域内的每一个值时都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。在了解函数的性质后，从而应用到函数有关的题目中，在解决负数求证时都将用到函数的周期性的基本性质。

孙宜新.函数的基本性质的解题中的应用［J］.数学爱好者，2006（02）.