基于波形时域特征聚类法的谐振接地系统故障选线

郭谋发，严 敏，陈 彬，杨耿杰

（1.福州大学 电气工程与自动化学院，福建 福州 350116；2.国网福建省电力有限公司 福州供电公司，福建 福州 350003；3.国网福建省电力有限公司 电力科学研究院，福建 福州 350007）

0 引言

谐振接地系统发生单相接地故障的情况复杂多变、故障电流微弱，使得其故障选线问题一直未能很好地解决。单相接地故障时的暂态信号蕴含了丰富的故障信息，故障暂态零序电流幅值可达到稳态电流的几倍到几十倍。可利用各线路的故障暂态零序电流波形包含的极性、幅值等信息进行选线。近年来众多学者利用求故障后零序电流、电压波形相似性来进行选线。文献[1-2]利用零序电流间的相关系数大小选线；文献[3]用Prony拟合提取主振荡频率处的零序电流波形的相关性选线；文献[4-5]利用小波包分解得到的零序电流特征频带的相似性选线；文献[6]利用零序电流与母线零序电压的相关系数实现选线；文献[7]采用灰色关联算法判别故障线路。

故障暂态零序电流特征量的有效提取方法及选线判据的阈值难以确定等问题均有待进一步研究。本文利用谐振接地系统的零序网络分析接地故障后暂态零序电流波形的相似性原理，提出一种基于暂态零序电流波形时域特征聚类的谐振接地系统单相接地故障选线新方法。对各线路故障后首半个周期零序电流波形进行直方图分解，求取反映暂态零序电流极性信息的相对熵矩阵S；考虑暂态零序电流波形的局部性相似性及整体性相似性，定义综合幅值矩阵F3；由S和F3构造综合体现暂态零序电流波形的极性、局部及整体相似性等信息的综合相对熵特征矩阵X，应用免阈值设定的模糊核聚类KFCM（Kernel Fuzzy C-Means）算法对特征矩阵X进行聚类，选出故障线路。

1 故障暂态零序电流特征分析

配电网零序网络中，线路的阻抗远小于容抗，可忽略不计，得到谐振接地系统单相接地简化零序网络，如图1所示。图中，L为消弧线圈电感；Ck为第k条线路的三相对地等效电容；R为过渡电阻；消弧线圈电阻远小于感抗，也可忽略不计；u=Umsin（ωt+φ）为故障相电源电压，其中Um为电压幅值，φ为电压初相角。

图1 谐振接地系统单相接地简化零序网络图Fig.1 Simplified zero-sequence network of resonance grounding system with single-phase grounding fault

根据图1，得到回路电压方程及支路电流方程：

其中，uL为消弧线圈电压；ik为第k条线路的零序电流。

式（1）经拉普拉斯变换得消弧线圈电流的表达式 IL（s）及第 k 条线路零序电流的表达式 Ik（s）：

设第i条线路发生故障，所有非故障线路的电容电流总和为：

流过故障线路的零序电流为：

由式（3）可知，非故障线路的零序电流为该线路对地电容电流，其值大小与故障相电压的初相角φ、过渡电阻R、消弧线圈电感L以及该线路对地电容Ck有关。当系统发生单相接地故障时，非故障线路的φ、R、L均相同，其零序电流幅值的大小主要由Ck决定，Ck与线路的长度、类型等相关。非故障线路的暂态零序电流方向均由母线流向线路。因此，非故障线路间的暂态零序电流波形较相似。

故障线路的零序电流I（s）为消弧线圈的补偿电流IL（s）与所有非故障线路的零序电流IC（s）之和。 由式（5）、式（7）可以看出，故障线路的零序电流幅值与非故障线路的零序电流幅值相差较大。同时，故障线路的零序电流方向由线路流向母线，与非故障线路的零序电流方向相反。因此，故障线路与非故障线路间的零序电流波形较不相似。

2 波形时域特征聚类法选线原理

2.1 故障暂态零序电流直方图分解

直方图分解是一种常用的数字图像处理方法，图像的直方图常用于描述图像的特征。某灰度图像，设其灰度级为[0，Lg]，图像总像素个数为n，则定义灰度直方图为离散函数h（r）=nr，其中r表示某个灰度级（0≤r≤Lg），nr表示图像中灰度级为 r的像素个数[8]。借鉴图像的直方图处理技术，采用直方图描述谐振接地系统接地故障暂态零序电流波形的时域分布特征。首先在时间轴上将故障暂态零序电流波形分成p个时段，进而在幅值轴上将每个时段内的故障暂态零序电流波形分成q个区间，分别统计各时段的总采样点数z以及各时段内每个区间的采样点数NG（0≤G≤q）。将NG和对应时间段的z的比值作为波形分布系数，得到波形的直方图。具体过程如下。

依据文献[9]建立6条缆-线混合的谐振接地系统仿真模型，仿真线路1发生相电压过峰值时的小电阻接地故障，各线路暂态零序电流波形见图2，图中从上至下依次为线路1—6的暂态零序电流。

故障和非故障线路暂态零序电流的首半波如图3所示。在时域上将其均分成p段，对不同的时段个数pє[5，20]进行大量仿真，综合考虑取p=10。仿真采样频率取20 kHz，则半个周期的零序电流波形采样点数为1/2×0.02×20000=200，一个时间段内的总采样点数z=200/10=20。

图2 各线路故障暂态零序电流波形Fig.2 Waveform of transient zero-sequence current during fault for different lines

图3 故障暂态零序电流首半波波形Fig.3 Transient zero-sequence current waveform for first post-fault half-period

以图3第1个时段内的零序电流波形为例，首先用该时段内绝对值最大的零序电流值作为幅值归一化基准，将该时段内零序电流的幅值限定在[-1，1]之间。归一化处理后，分别对每个时段内的零序电流波形在幅值轴上进行划分，分为上、下各q/2个幅值区间，对不同的区间个数qє[5，20]进行大量仿真，综合考虑取q=10，如图4所示。

图4 第1时间段内电流波形在幅值轴上的区间分布图Fig.4 Current amplitude distribution in first time interval

计算各个幅值区间内的采样点数占其所在时段内总采样点数的比值 NG（k，i，j），NG（k，i，j）表示第 k（k=1，2，…，N）条线路的第 i（i=1，2，…，10）个时段的第 j（j=1，2，…，10）个幅值区间内的采样点数与其所在时段内的总采样点数 z的比值，以 NG（k，i，j）为幅值形成直方图，见图5。图中横坐标为电流的幅值分布区间q，纵坐标为各个幅值区间内的采样点数占其所在时段内总采样点数的比值 NG（k，i，j）。

图5 各线路第1时间段内零序电流波形的直方图Fig.5 Histogram of zero-sequence current in first time interval for different lines

同一时间段内故障线路与非故障线路的暂态零序电流波形若近似以横轴为对称，则该段时间内二者的直方图分布区间差异性较大，如图3中第1时间段内故障线路与非故障线路的暂态零序电流波形；同一时间段内故障线路与非故障线路的暂态零序电流波形若近似以过零点为中心对称，则该段时间内二者的直方图分布区间差异性较小，如图3中第2时间段内故障线路与非故障线路的暂态零序电流波形。另外，同为非故障线路的暂态零序电流波形，因波形相似，各时间段内的波形的直方图分布区间差异性相对较小。如图5所示，非故障线路暂态零序电流在第1时段内的各波形相似，其对应直方图分布具有相似性，主要分布在第6—10区间内；而故障线路与非故障线路暂态零序电流在第1时段内的波形近似以横轴为对称，其对应直方图分布差异性较大，故障线路主要分布在第1—5区间内。

综上所述，直方图分布可较好地体现故障线路与非故障线路暂态零序电流波形的极性分布特征。不同故障情况下，各线路的故障暂态零序电流在各时间段内的波形将发生变化，直方图分布情况也随之改变，但其所反映的故障线路与非故障线路暂态零序电流波形的极性分布特征不变，即二者首半波的极性相反。

2.2 波形时域特征识别方法

相对熵表示系统处于一个状态相对处于另一个状态的概率差异程度[10]。若一个测试系统含有Ns个不同状态，则除第X个状态外的剩余Ns-1个状态相对于第X个状态的熵值，加上相对于除第X个状态外的剩余Ns-1个状态的熵值，称为系统中第X个状态的相对熵值，该相对熵值反映了第X个状态与系统其余状态的概率差异性，2个状态间的相对熵值差异值越大，则2个状态相差越大。式（8）表示第X个状态相对于第Y个状态的熵，式（9）表示第Y个状态相对于第X个状态的熵，二者不相等。

其中，P（X）为系统处于第 X 个状态的概率；P（Y）为系统处于第Y个状态的概率。

对故障暂态零序电流波形在时间轴及幅值轴上进行区间划分，以波形各时段的直方图分布作为波形分布特征矩阵。将波形分布特征矩阵看成一个系统，矩阵内的元素看作该系统的状态，元素值看作状态出现的概率。则可用相对熵表征各线路故障暂态零序电流波形间极性的差异性。定义第k条线路中第i个时段的第 j个幅值区间的相对熵值为 S（k，i，j），其值为 NG（k，i，j）相对于 NG（m，i，j）（m=1，2，…，N，m≠k）的相对熵值与 NG（m，i，j）（m=1，2，…，N，m≠k）相对于 NG（k，i，j）的相对熵值之和。

根据不同概率之比求得的相对熵值可正可负，在累加过程中存在相互抵消的可能，故对相对熵取绝对值，突出体现相对熵值变化的趋势和大小[11]。其表达式为：

其中，若分子NG为 0，规定；若分母 NG为 0，取 NG=10-30。

第k条线路的第i个时段波形的相对熵值定义为S（k，i），以一个时段内的q个幅值区间的相对熵值之和作为该时段的相对熵值，则有：

为运用故障后零序电流波形的幅值信息，考虑暂态零序电流波形的整体相似性及局部相似性，分别定义幅值矩阵F1、F2，用于刻画零序电流波形的幅值信息。

a.幅值矩阵 F1。 F1的元素 F1（k，i）为各线路每个时段内暂态零序电流的幅值绝对值最大值与该条线路幅值绝对值最大值的比值，则有：

其中，M（k，i）为第k条线路暂态零序电流的第i个时段内幅值绝对值最大值；M1（k）=max（M（k，·））为第k条线路暂态零序电流绝对值最大值。

用幅值矩阵F1表征故障后第k条线路暂态零序电流的第i个时段的幅值信息。

b.幅值矩阵 F2。 F2的元素 F2（k，i）为同一个时段内，各线路暂态零序电流幅值绝对值最大值与该时段内所有线路中幅值绝对值最大值的比值，则有：

其中，M2（i）=max（M（·，i））为第 i个时段内各线路暂态零序电流绝对值最大值。

用幅值矩阵F2表征故障后第i个时段不同线路暂态零序电流幅值信息。

c.定义F3为综合幅值矩阵，用于表征故障后第k条线路暂态零序电流第i个时段的幅值信息，F3的元素 F3（k，i）=F1（k，i）F2（k，i）。

用综合相对熵矩阵X来反映暂态零序电流波形的总体时域特征，其元素X（k，i）表达式为：

其中，X（k，i）为第k条线路暂态零序电流第 i个时段的综合相对熵值。

对求取的综合相对熵利用式（15）进行归一化处理：

其中，X（k，i）为 X 中元素；X′（k，i）为归一化后的元素；max（X）为 X 中最大值元素；min（X）为 X 中最小值元素，则归一化后的综合相对熵矩阵X′的元素值在[0，1]间。 综合相对熵矩阵 X′如式（16）所示。

2.3 模糊核聚类选线

模糊核聚类利用Mercer核，把输入空间的样本映射到高维特征空间，在高维特征空间中进行聚类[12]。模糊核聚类方法在性能上较经典c-均值聚类和模糊c-均值聚类方法均有较大的改进，它通过非线性映射能较好地分辨、提取并放大有用的特征量，从而实现更为准确的聚类，其算法收敛速度也较快。

设 Y=｛y1，y2，…，yn｝是输入空间的样本集，c（2≤c≤n）为聚类个数，vj（j=1，2，…，c）为第 j个类的聚类中心，通过非线性特征映射，在高维特征空间中，将欧氏距离展开并利用高斯核函数K（yi，vj）计算高维空间中样本的内积，可得到模糊核聚类的目标函数[13]：

其中，n为样本数；m为加权指数；uij为样本yi对应于第j个聚类的隶属度。

对于隶属度uij须满足：

分别对JKFCM关于uij、vj求偏导，得到新的聚类中心和隶属度矩阵更新公式[15]：

模糊核聚类算法的具体步骤如下[14]。

a.给定聚类数目 c（2≤c≤n）、阈值 ε、最大迭代次数T、加权指数m。

b.初始化聚类中心V（1）=[v（1）1，v（1）2，…，v（1）c]，设置迭代次数Ni=1。

c.利用式（20）计算隶属度u（Ni）ij。

d.利用式（19）计算聚类中心v（Ni+1）j。

e.如果‖V（Ni+1）-V（Ni）‖＜ε或算法迭代次数Ni＞T，则算法结束，输出最终聚类结果；否则，Ni=Ni+1，执行步骤c。

聚类结果分为故障线路与非故障线路2类，则聚类数目c=2；取阈值ε=10-5，最大迭代次数T=100，加权指数 m=2。 向量 yi与 X（k，i）（k=1，2，…，10；i=1，2，…，n）对应。利用模糊核聚类对归一化后的综合相对熵矩阵X′进行聚类，得到隶属度矩阵U为：

其中，N为线路数目；uij为第j条线路故障暂态零序电流属于第i类的隶属度。由隶属度矩阵U可确定隶属于第1类的暂态零序电流和隶属于第2类的暂态零序电流，被单独聚为一类的暂态零序电流对应的线路即为故障线路。

2.4 故障选线流程

故障选线流程如图6所示。以零序电压是否越限作为启动接地选线流程的依据，若发生单相接地故障，则取各线路零序电流的首半波并在时间轴上对其进行分段，对每一个时段内的零序电流在幅值轴上做直方图分解，进而求得综合幅值矩阵F3及归一化后的综合相对熵矩阵X′，对X′进行模糊核聚类，选出故障线路。

图6 故障选线流程图Fig.6 Flowchart of faulty line selection

3 仿真验证

用ATP搭建6条缆线混合的谐振接地系统模型，如图7所示。图中，JL为架空线路长度；DL为电缆线路长度；R为接地电阻。110 kV主变压器型号为SZ-31500/110/10，连接组别为 Yd11；10 kV变压器型号为S11-MR-1000/10/0.4，连接组别为Dy11。架空线路正序参数，rJ1=0.17 Ω/km，lJ1=1.21 mH/km，cJ1=0.0097 μF/km；架空线路零序参数，rJ0=0.23 Ω /km，lJ0=5.478 mH/km，cJ0=0.008 μF/km。 电缆线路正序参数，rD1=0.27 Ω /km，lD1=0.255 mH/km，cD1=0.339 μF/km；电缆线路零序参数，rD0=2.7Ω/km，lD0=1.019 mH/km，cD0=0.28μF/km。计算得系统总电容电流 IC=3ωCUN=24.6（A）＞20 A，应装设消弧线圈。 过补偿度取 5%，电感 L=1/1.05×UN/（ωIC）=0.7116（H），其中UN为相电压额定值；消弧线圈的有功损耗大约为感性损耗的 2.5%～5%，取3%，则电阻RL=0.03UN/（1.05IC）=6.7（Ω）。

图7 谐振接地系统仿真模型Fig.7 Simulation model of resonance grounding system

线路L1在距母线6 km处C相电压过峰值时发生接地故障，过渡电阻为0.2 Ω，取6条线路故障后零序电流的首半波进行直方图分解，求得综合幅值矩阵F3及相对熵矩阵S，在此基础上进一步求得综合相对熵矩阵X，并利用式（15）对X进行归一化得X′。对X′进行模糊核聚类，得隶属度矩阵U。

隶属度矩阵U的行代表状态类别，1—6列分别代表线路L1—L6故障暂态零序电流隶属于不同状态类别的程度，uij的值越接近于1表示线路Lj暂态零序电流隶属于第i个状态类的程度越大。由隶属度矩阵U可知，线路L1的暂态零序电流被单独归为一类，其他线路的暂态零序电流归于另一类，由此可判定线路L1为接地线路。

不同线路在不同故障点、不同故障合闸角、不同过渡电阻情况下发生单相接地故障的选线结果见表1。表中，Lm为故障线路；xf为故障点到母线的距离；θ为故障合闸角；R为过渡电阻。

4 选线方法的适应性

4.1 电弧故障

ATP的OBJECT模块提供的MODEL语言可用于描述电弧的动态特征及电弧熄弧、燃弧过程。创建sup-file并编写mod-file，实现电弧故障的一次电弧模型仿真[15]。线路L1在不同弧长及不同时刻下的电弧接地选线结果见表2，其中l为电弧的弧长。

4.2 噪声影响

工程应用中，需考虑外界随机噪声干扰对选线方法的影响。对线路L2、L4的故障暂态零序电流叠加信噪比为20 dB的高斯白噪声干扰，4种典型接地故障的选线结果见表3，结果表明该选线方法具有较强的抗干扰能力。

表1 故障选线结果Table 1 Results of faulty line selection

表2 发生电弧故障时的选线结果Table 2 Results of faulty line selection for arc fault

表3 叠加噪声情况下的选线结果Table 3 Results of faulty line selection in noisy condition

4.3 采样不同步

实际应用中，接地故障发生后，选线装置对各条线路的暂态零序电流的采样有可能不同步，将产生相位移。对各条线路做了多种情况下采样不同步的仿真，以线路 L3、L4滞后线路 L1、L210个采样点；线路L5、L6滞后线路L1、L215个采样点为例。线路L6在距离母线2 km处发生过渡电阻为2 Ω的单相接地故障，其选线结果见表4。

表4 采样不同步情况下的选线结果Table 4 Results of faulty line selection in non-synchronous sampling condition

4.4 两点接地故障

当谐振接地系统中两点不同时发生单相接地故障时，该选线方法仍然有效。线路L3、L5在不同情况下发生两点接地故障的选线结果见表5。但对于2条不同线路发生两点同时接地故障的情况，仅能正确选出其中1条故障线路，选线方法有待进一步改进。

表5 2条线路同时发生两点接地故障的选线结果Table 5 Results of faulty line selection for two-point grounding fault on two lines

4.5 不同补偿度的影响

取不同的补偿度，线路L4距母线2 km处，在不同故障电压初相角、不同接地电阻下发生单相接地故障，其选线结果见表6。结果表明该方法对谐振接地系统在不同补偿度下发生单相接地故障同样适用。

表6 不同补偿度下的故障选线结果Table 6 Results of faulty line selection for different compensation degrees

综上可知对各出线的故障暂态零序电流波形的综合相对熵特征矩阵进行模糊核聚类，可选出故障线路，但母线故障时，因各出线暂态零序电流波形相似，无法正确选线，可通过增加进线暂态零序电流的检测来解决该问题，即增加检测由主变10 kV侧流入母线的故障暂态零序电流，选线方法相同。

5 结论

对故障后各线路暂态零序电流波形做直方图分解，构造综合相对熵特征矩阵表征暂态零序电流波形的幅值、极性信息，根据波形时域特征矩阵模糊核聚类的结果，选出故障线路。得到的主要结论如下：

a.基于直方图分解及相对熵理论所求取的相对熵特征矩阵S，结合包含各线路不同时段幅值信息的矩阵F3，可构造有效表征故障暂态零序电流波形幅值和极性信息的综合相对熵矩阵X；

b.对特征矩阵进行模糊核聚类，可解决传统选线方法中利用设置阈值来判别故障线路的弊端；

c.所提选线方法适用于电弧故障、噪声干扰、采样不同步、消弧线圈不同补偿度等工程应用中可能存在的影响因素。