基于改进虚拟支路法的高速铁路牵引网串联谐振分析

王 斌，邱忠才，韩旭东，姜晓锋，高仕斌

（西南交通大学 电气工程学院，四川 成都 610031）

0 引言

我国高速铁路动车组变流器均采用正弦脉宽调制（SPWM）技术，使得低次谐波含量大幅降低，但在开关频率偶数倍附近产生了不可忽略的高次谐波。高次谐波电流在牵引网传输过程中，得到了不同程度的畸变和放大。当牵引网参数和机车参数在某一频率下匹配时，即认为牵引网发生了谐波谐振，会引起避雷器、绝缘子、并联补偿装置的爆炸等[1-4]。牵引网中的谐波谐振分为并联谐振和串联谐振，2种谐振的特性并不相同，并联谐振产生节点过电压，串联谐振使回路中产生较大的谐波过电流，造成较大的线路电压损耗，并对周遭的环境产生较大的电磁干扰。从这个角度而言有必要针对牵引网串联谐振展开分析，从而对牵引网出现的谐波谐振危害，根据不同特性应具体分析，采取不同的抑制措施。

频谱分析法是当前唯一能准确识别谐振存在和确定串并联谐振频率的通用方法[5]，该方法是利用系统节点阻抗矩阵的频率扫描进行分析，从而使每个节点都含有系统所有的谐振信息，因此不能有效分析串联谐振。文献[6-7]提出了模态分析法和S域分析法：模态分析是通过分析节点导纳矩阵的特征根及特征向量的依频性质，得到相关的谐振信息；S域分析是将频域转化为复频域，通过建立节点电压输出与节点电流注入的传递函数进行分析，传递函数的极点即确定为并联谐振频率，其零点即可确定串联谐振频率。这些方法在分析节点过电压即并联谐振问题上已有统一的结论，但对串联谐振的分析仍然没有定论[8]。文献[9-10]提出使用支路法分析串联谐振，实际上非线性激励源仍是谐波电流源，依然属于并联谐振范畴，而非串联谐振。文献[11]通过增加虚拟支路模拟谐波电压源，通过增加回路阻抗矩阵维数得到了与频谱分析法较一致的结论。若以频谱法作为串联谐振分析的检验标准，文献[11]提出的虚拟支路法将成为分析串联谐振又一有效的手段，但该方法对于复杂系统或多导体传输线路的阻抗矩阵建模难度较大，且维数较高。本文将谐波电压源及非线性负荷等效谐波阻抗转换为谐波电流源与导纳并联形式，利用由节点导纳矩阵得到的关联矩阵代替回路阻抗矩阵进行串联谐振分析，将虚拟支路法进行改进，使之成为分析串联谐振的有效手段。

1 串联谐振分析方法比较

图1为简单的电路系统，其谐振分析电路可等效为图2。图2中，ZP为该电路系统等效阻抗；XT1为变压器阻抗；XT2为谐波源阻抗；XC为系统电容阻抗；Xsource为系统电源阻抗。

图1 简单电路系统Fig.1 Simple circuit system

图2 等效谐振电路Fig.2 Equivalent resonant circuit

由图2可见，从谐波源看进去的系统阻抗为：

则串联谐振频率为：

并联谐振频率为：

可见，串联谐振主要与串联支路有关，而并联谐振是由相互并联的支路引起的。

利用频谱法对图1所示的电路进行分析，可得系统的节点阻抗分布如图3所示。图中，3.84 p.u.、16.51 p.u.等为并联谐振频率相对工频的标幺值。按照节点驱动点阻抗最大为并联谐振、最小为串联谐振的判据，由图3可见，该电路系统有3个并联谐振频率和6个串联谐振频率。分别利用模态阻抗回路法[8]、支路法[9-10]、虚拟支路法[11]对同一电路进行谐振分析，得到该电路的阻抗分布如图4所示。为便于和支路法比较，图4中虚拟支路法和模态回路法得到的阻抗值均乘以了10。

图3 频谱法分析结果Fig.3 Results of resonance analysis by spectrum method

图4 不同方法的谐振分析结果Fig.4 Results of resonance analysis by different methods

由图4可见，支路法和模态回路法得到了相同的串联谐振频率，且与频谱法得到的并联谐振频率相等，则可知其并非为串联谐振，只有虚拟支路法得到了与图3完全一致的分析结果。

虚拟支路法即假设在电路系统每一节点和参考节点之间增加一条连接支路，当分析到该支路短接情况下的回路阻抗矩阵时，则将该支路的阻抗置为0，使其短路，而分析其他支路短接时，又将其置为无穷大，从而依次生成每一节点对参考节点短接时的节点阻抗，用模态分析其特征值，最后所得结果即可反映所有的串联谐振点位置和谐振频率[11]。然而，由于高速铁路牵引供电系统的多导体分布特性和电路拓扑结构的动态变化性，利用虚拟支路法对其进行谐波谐振分析仍然存在以下问题：对多导体分布参数的建模复杂且难以选取合理的独立回路；回路的选取多种多样，无法确定哪些回路对串联谐振的影响程度；实际中的谐波电压源并不是理想的，需要增加导纳支路。

2 改进虚拟支路法

串联谐振可认为是由谐波电压源激励产生的，即在极小的线路阻抗中产生较大的谐波电流。按非线性负荷的性质，可将谐波电压源等效为如图5所示的戴维南等效电路，且根据谐波电压源所在支路的形式不同[8，11-12]，可分别得到并联支路和串联支路的等效电路，如图5（a）和 5（b）所示。图中，k=1，2，…，n。

图5 谐波电压源等效电路模型Fig.5 Equivalent circuit model of harmonic voltage source

考虑到非理想情况下非线性负荷的阻抗特性和谐波电压激励特性，若Ze趋近于0，则可认为该非线性负荷为理想谐波电压源；若Ze趋于∞，则可认为其为理想谐波电流源。实际中的谐波源并非理想的，故可将谐波电压源等效为Ze和Norton电路的组合，其中yr为极大数值（导纳极小），用于模拟电压源内阻抗，可选取为纯电阻，如106S等。经笔者分析发现，当yr大于105S后，该电阻不会对谐振分析产生影响，该值越大，则分析精度越高，从而可按照导纳极小的原则，将谐波电压源等效为Ze和Norton电路的组合，即对电路系统增加导纳支路。需要注意的是，Ze和Norton电路并不是简单的并联关系，Ze支路是对原谐波源阻抗的一种等效，而Norton电路是进行串联谐振分析所施加的激励源，Norton电路需分别与系统中的所有节点连接，如对系统中的节点i，Norton电路需分别与系统中的n个节点进行遍历，故图5中k=1，2，…，n。其物理意义与频谱法一样，不同的是该Norton电路是对节点进行短路处理，而频谱法是开路，这也是分析串联谐振与并联谐振的区别所在。

由上述等效电路，对于并联型等效电路，可修改系统的节点导纳矩阵为：

对于串联型等效电路的系统节点导纳矩阵可修改为：

其中，上标（k）表示将Norton电路依次连接在节点k（k=1，2，…，n），每次均进行独立的计算，且当进行yr（k）的时候其他 yr（·）均为 0。

此时，需要关注的是支路的电流响应，而不是节点谐波电压响应。虚拟支路法为回路电流响应，实质上串联支路电流也等于唯一经过其的回路电流。在提取支路电流方法中，S域分析法和支路法均可达到这个目的，为计算方便，本文用支路法建立串联支路电流与注入电流之间的对应关系。

其中，cm为支路 m 的关联行向量，元素值 cm，i=1、cm，j=-1、cm，else=0。

由矩阵Y的元素可获知节点之间的连接关系和耦合程度，假设有r条独立的串联支路，按照初始节点从小到大的顺序，对支路进行编号，则有：

支路的导纳矩阵为：

此时支路电流向量为：

其中，支路电流向量 J=[J1，J2，…，Jr]T；C 为系统的电容矩阵。

结合式（7）和式（9），则有：

此时，可通过控制谐波电压接入向量Uf=[uf1，uf2，…，ufN]T，实现对不同节点、谐波电压大小、相位的选择，并改变频率值进行扫描，以确定J中各元素随频率的变化规律，在极大值点时即可认为发生了串联谐振。

由上可见，该方法对于系统节点导纳矩阵的建立相当于其他方法而言并没有增加难度，故考虑在n个节点中逐一添加谐波电压源，便可对系统进行对串联谐振分析，分析计算流程如图6所示。

图6 所提方法流程图Fig.6 Flowchart of proposed method

利用该方法，对图1所示的电路系统进行分析，可得到如图7所示的4.93 p.u.、7.56 p.u.等6个串联谐振频率，“IN#节点1，OUT#支路2”表示Norton支路连接到节点1，从而得到支路2的电流响应，其他类似。该结果与利用频谱法分析得到的图3所示的结论一致。

图7 所提方法的串联谐振分析结果Fig.7 Results of series resonance analysis by proposed method

由图7可见，相邻2条支路均含有相同的谐振频率，但与其他节点的激励无交叉，如针对节点1激励可以激发支路1和支路2频率为4.93 p.u.和22.84 p.u.的串联谐振。这就很好地解释了为何分析串联谐振需要串入电压源，而不是电流源。频谱法只是从节点注入较大电流而节点电压相应最小（与并联谐振相反）对串联谐振进行界定，并不能从物理上解释串联谐振带来的问题，而改进虚拟支路法更加满足物理意义，符合实际。与虚拟支路法修改回路阻抗矩阵一样，改进虚拟支路法需要对节点导纳矩阵进行修改，文献[11]的回路阻抗矩阵维数为2 n维，而改进虚拟支路法为n维，且节点导纳矩阵易于建模，更适用于复杂系统分析。

3 高速铁路牵引网串联谐振分析

对于采用SPWM技术的高速动车组而言，其交流侧网压是由调制波和直流侧电压决定的。由于变流器支撑电容可以较快地达到稳定，故变流器交流侧即为恒定的谐波电压SABUd[13]，其中Ud为动车组直流侧电压，SAB为三电平调制波。高速动车组的等效电路如图8所示，图中Zx为车载牵引变压器泄漏阻抗。可见，在牵引供电系统中有谐波电压源存在，满足串联谐振的激发条件。

图8 牵引供电系统等效电路图Fig.8 Equivalent circuit of traction power-supply system

为验证改进虚拟支路法的实用性，本文将该方法应用于某实际高速铁路牵引网的串联谐振分析。该高速线路主要采用CRH2B型动车组，牵引网为长度为30 km的AT网线路，外部供电系统等效为戴维南等效电路，输入电压Us=55 kV（接触线与钢轨之间为27.5 kV，正馈线与钢轨之间为 -27.5 kV），牵引变压器漏抗Zx=0.1+j 0.37 Ω，系统等效阻抗ZS=10+j18.5 Ω，AT 漏抗 zg=1+j 4.5 Ω，滤波器参数选择 Lf=400 mH、Cf=2 μF。 牵引供电系统等效电路见图9。

图9 某实际牵引供电系统等效电路图Fig.9 Equivalent circuit of an actual traction power-supply system

利用文献[14]的牵引网链式等效模型，建立分段牵引网等效模型。选择文献[9]中AT牵引网的电容Ctra与阻抗Ztra矩阵参数，可求取链式模型参数如式（11）和式（12）所示。

选取如图9所示的支路①—⑤，按照第2节的分析方法，可得到如图10所示的串联谐振分析结果，图中纵轴为标幺值。

图10 所提方法的串联谐振分析结果Fig.10 Results of series resonance analysis by proposed method

由图10可见，机车位置的变化对串联谐振影响较小，这是由于高速动车组的功率因数接近为1，可等效为纯电阻，因此对谐振影响较小。图10中出现了17.6次串联谐振，接触线和系统侧等支路的响应较大。图11为该高速铁路牵引网AT吸上线电流及其频谱，可见AT吸上线支路的18次谐波电流得到了严重的谐振放大，该次谐振频率与本文利用改进虚拟支路法计算所得的17.6次谐振频率较为接近，从而说明了该改进方法的准确性。

图11 某高速铁路牵引网实测电流及其频谱Fig.11 Measured current waveform and corresponding spectrum of high-speed railway traction network

4 结论

a.本文在对比几种电路串联谐振分析方法的基础上，提出改进虚拟支路法，将非理想谐波电压源等效为等效阻抗和Norton支路，利用由节点导纳矩阵得到的关联矩阵代替回路阻抗矩阵进行串联谐振分析。

b.利用改进虚拟支路法对一个简单电路系统的分析可见，该方法较文献[11]提出的虚拟支路法降低了电路阻抗矩阵的建模难度和矩阵维数，且把对复杂多导体电路的回路建模转变为节点导纳矩阵建模。

c.通过对高速铁路牵引网串联谐振的分析，验证了改进虚拟支路法的准确性和适用性，从而可利用该方法分析谐波谐振问题，也可作为谐波治理和谐振抑制的校验方法。