利用非负巧解题

卢加月

2015年四川省绵阳市中考题中有这样一题：要使代数式意义，则x的（      ）.

【分析】方法1：根据算术平方根的被开方数是非负数，可知2-3x≥0，解不等式求出x的解集，即可得到x的最大（小）值.

方法2：根据算术平方根是非负数，可知≥0，其有最小值0，此时x取最大值，由2-3x=0解出x即可.

解：方法1：由有意义，可知2-3x≥0，解得x≤，所以x的最大值为，故选A.

方法2：由≥0，可知的最小值为0，此时x取最大值.由2-3x=0解得x=.所以x的最大值为，故选A.

由算术平方根的概念可知，式子（a≥0）包含两个非负数：①a≥0;②≥0.运用算术平方根的这两个非负性，可解决许多中考题.

一、 利用中的a≥0解题

例1   （2014·山东潍坊）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ）.

A. x≥-1

B. x≥-1且x≠3

C. x>-1

D. x>-1且x≠3

【分析】由有x+1≥0，由（x-3）2在分母上有（x-3）2≠0.由此可得实数x的取值范围.

例2   （2014·贵州安顺）已知等腰三角形的两边a、b满足+（2a+3b-13）2=0，则此等腰三角形的周长为（      ）.

A. 7或8 B. 6或10

C. 6或7 D. 7或10

【分析】先由算术平方根和完全平方式非负得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，进而求出等腰三角形的周长.

解：∵≥0，（2a+3b-13）2≥0，（2a+3b-13）2=0，∴=0且（2a+3b-13）2=0，∴2a-3b+5=0，2a+3b-13=0.解得a=2，b=3.

∴等腰三角形三边长分别为2，2，3或2，3，3，从而等腰三角形的周长是7或8，故选A.

三、 同时利用≥0和a≥0解题

【分析】根据算术平方根的被开方数非负，有x+y≥1999，x+y≤1999，得x+y=1999.代入原式后得到两个算术平方根为0，再根据算术平方根非负和非负数性质，得到关于x、y和m的方程组，即可求出m的值.

解：根据算术平方根的被开方数非负可得x-1999+y≥0且1999-x-y≥0，即x+y≥1999，x+y≤1999，所以x+y=1999，从而原等式可化为0.再由算术平方根非负及非负数性质可得：3x+5y-3-m=0，2x+3y-m=0.即3（x+y）+2y-3-m=0，2（x+y）+y-m=0.所以，3×1999+2y-3-m=0，2×1999+y-m=0.消去y，可解得m=2002.

（作者单位：江苏省兴化市楚水初级中学）