多自由度系统中标量传递率的不变性及其应用

第一作者张昱男，博士生，1982年9月生

多自由度系统中标量传递率的不变性及其应用

张昱，朱彤，周晶

(大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，大连116024)

摘要：标量传递率函数描述了多自由度系统中两个自由度的响应之间的关系，随着应用范围的延伸，近年来标量传递率逐渐受到了重视。本文从串联系统出发，证明了多激励作用下多自由度系统中标量传递率在某些条件下具有不变性，提出了该性质的统一的适用模型，并通过数值方法验证了结论的正确性。在振动台模型实验中的应用表明，该性质可以在实际问题中起到指导作用。

关键词：传递率；标量传递率函数；模态参数识别

基金项目：国家重点基础研究发展计划(973计划)(2011CB013702);国家自然科学基金委创新研究群体基金(51121005)

收稿日期：2013-12-11修改稿收到日期：2014-04-30

中图分类号:TB123文献标志码：A

Invariability of scalar transmissibility in a MDOF system and its application

ZHANGYu,ZHUTong,ZHOUJing(State Key Lab of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology Dalian 116024, China)

Abstract:Scalar transmissibility attracting more and more attention in recent years describes the relationship between responses from two positions of one multi-degree of freedom (MDOF) system. The invariability of scalar transmissibility in a MDOF system under multiple loads was proved here, and the results were further extended to one unified model. A numerical test was performed to verify the correctness of the conclusion. Then, its application in a shaking table model test indicated that this property is helpful to dealing with practical problems.

Key words:transmissibility; scalar transmissibility function; modal parameter estimation (MPE)

经过60余年的发展，运行模态分析(Operational Modal Analysis，OMA)技术日臻成熟，目前的研究主要集中于解决一些具体的问题，源于白噪声激励假设的有色激励问题即是其中之一[1]。Deviendt等[2-3]提出了一种独特的基于传递率的OMA方法，这种方法不限制激励的成分，是一种从根本上解决有色激励问题的方案。

多自由度系统中的传递率分为两类，一类描述两个不同自由度的响应间的关系，称作转移函数(transmissibility function)[4]，伪传递率(pseudo-transmissibility)[5]，标量传递率(scalar transmissibility)[6]或直接传递率(direct transmissibility)[7]；另一类描述系统中不相交的两个自由度集合间的关系，称作多变量传递率(multivariable transmissibility)[6]，整体传递率(global transmissibility)[8]或简称为传递率(transmissibility)[9]。得益于在损伤识别[5, 10]，隔振[11]等领域中的广泛应用，第二类传递率的性质得到了较为深入的研究，Ribeiro等[9, 12]提出了包括不变性在内的一些性质；相比之下对第一类传递率的研究非常有限。

Deviendt等[6, 13-15]提出的方法以第一类传递率为基础，本文中称其为标量传递率函数(Scalar Transmissibility Function，STF)。STF与模态参数间不存在直接的联系，但如果不同荷载条件下相同两点间的STF仅有有限个交点，则分析频段内模态频率的集合将是对应交点频率集合的子集，这就是基于STF的OMA的理论基础。显然，基于STF的OMA适用的一个必要条件是不同荷载下相同两点间的STF互异，因此在设计工况时必须避免工况改变但STF不变的情况出现，确实无法避免则必须选择其它的OMA方法。对多自由度系统中STF不变性的研究，目前仅见于文献[16]，Liu等以单激励下的串联系统作为研究对象，提出了三种形式的结构模型，证明在一定条件这些模型中的STF不随激励的变化而改变，并以数值算例验证了结论的正确性。

本文以与文献[16]不同的方式证明了STF的不变性在多激励条件下同样存在，并提出了该性质的统一适用模型；随后通过数值算例验证了该结论的正确性；在第三节中将该性质应用于振动台模型实验中，对实验方案的选择起到了指导作用；最后，对结论进行了简练的总结。

1理论

多自由度系统的标量传递率函数(STF)tij(s)定义为

(1)

式中，s为拉普拉斯域变量；Yi(s)和Yj(s)分别为自由度i和j的运动响应(位移，速度或加速度)的拉普拉斯变换。分别称自由度i和j为原点自由度和参考自由度。

系统的传递函数矩阵[H(s)]可表示为动刚度矩阵[Z(s)]的逆矩阵，即

(2)

式中，N是自由度的数量；adj([Z(s)])是[Z(s)]的伴随矩阵；Aij是[Z(s)]关于第i行第j列元素的代数余子

式。[Z(s)]与系统的质量矩阵[M]，阻尼矩阵[C]和刚度矩阵[K]之间的关系为

(3)

可以将Yi(s)表示为如下的各自由度的激励的加权和的形似

(4)

综合式(1)和式(4)，得到

(5)

显然STF只包含了系统某部分的零点信息，与作为整体性质的极点信息无关。

图1　N自由度串联系统 Fig.1 N-DOF series system

考虑如图1所示的由集中质量，黏滞阻尼器和线性弹簧组成的N自由度串联系统，系统的动刚度矩阵具有如下的三对角结构

(6)

其中，mi为第i个质量块的质量，cij和kij分别为i、j两个质点间的阻尼和刚度；ci和ki定义为

ci=ci-1,i+ci,i+1

ki=ki-1,i+ki,i+1

设p

(7)

(8)

式(7)和式(8)中的子矩阵[Z1(s)]~[Z5(s)]按如下方式定义

[Z3(s)]=[Z[i+1:N,i+1:N]]∈C(N-i)×(N-i)

(9)

式中，Z[i:j,k:l]表示由[Z(s)]的第i到第j行，第k列到第l列元素组成的子矩阵。假设系统中仅作用于自由度p的激励不为零，将式(7)和式(8)代入式(5)中，得到

(10)

(11)

(12)

显然，式(10)与式(12)的结果完全一致。通过相似的方式可以证明若i

如果系统是线性的，多个激励共同作用下的结构响应将等于每个激励单独作用下结构响应的叠加。因此依次在自由度集合P={p1,p2,…,pn}中的每一个元素上施加荷载时系统的响应之和等于在这n个荷载共同作用下的结构的响应，即

(13)

(14)

根据前面的结论，如果P中的元素满足max(p1,p2,…,pn)≤ min(i,j)或min(p1,p2,…,pn)≥ max(i,j)，有

(15)

将式(15)代入(14)中，得到

(16)

显然，在如图1所示的串联系统中，只要非零激励仅作用于某两个自由度所围区域的一侧，这两个自由度间的STF与激励的数量和分布无关。

考虑到前面的讨论中未规定自由度编号的规则，可以进一步将结论加以推广：如果一个线性系统能够划分为如图2所示的两个子结构A和B，且A和B中任一自由度都至多与一个自由度p相联系，则当激励作用于A的自由度或p时，B中任意两个自由度之间或者p与B中任意自由度之间的STF与激励的数量，作用位置，大小，分布和属性无关，仅由与子结构B的物理性质及p和B间联系的属性决定。

图2　子结构示意图 Fig.2 Substructures

2数值验证

本节通过一组数值实验验证第1节中的结论。

考虑如图3所示的两个由板和杆组成的结构，所有的板均在四个角受到简支约束，其参数如表1所示。结构Ⅰ的A、B板间距0.12m；结构Ⅱ的B、C板与A板的间距分别为0.12 m和0.06 m；结构Ⅲ与结构Ⅰ的区别仅在于将连接节点390和节点72的杆改为连接节点390和节点96。为了满足仅有1个自由度关联的前提，所有杆的端点都仅在Z方向与A板中的相应节点耦合。

表1　结构Ⅰ和结构Ⅱ中构件的参数

对结构Ⅰ~Ⅲ施加如表2所示的5种工况，其中工况3中作用于结构Ⅱ的不同节点上的随机波互不相关。计算各工况中板A节点16到195，80到72的Z方向位移间的STF，t16,195，t80,72，所得结果如图4和图5所示。可以看到，在满足前提条件的情况下，不同工况中板A的自由度间的STF是基本一致的，与激励类型、数量和其它结构的形式无关。如果前提条件得不到满足，虽然节点72与节点96位置非常接近，且结构Ⅲ中仅对一根杆进行了改动，但是不同工况中板A的自由度间的STF的变化是显著的。需要说明的是，图4中冲击激励下的STF中存在的某些“非一致”的震荡是由如泄漏和加窗这样的因素产生的，因为随着信号截断长度和指数窗衰减率的改变，这些震荡的幅度也会发生变化，但整体的一致性趋势却不会随之变化；另外，通过平稳的随机响应计算得到的STF一般都不存在类似的问题，因此可以认为这些震荡不是STF本身的差异。

图3　结构Ⅰ和结构Ⅱ Fig.3 Structure Ⅰ & Ⅱ

工况结构荷载类型作用节点作用方向1Ⅰ冲击294Z2Ⅰ冲击72Z3Ⅱ随机波220,285Z4Ⅰ冲击96Z5Ⅲ冲击294Z

图4　工况1~3中的t 16,195(上) 和t 80,72(下) Fig.4 t 16,195 (top) and t 80,72 (bottom) from load condition 1~3

图5　工况1，4，5中的t 16,195(上) 和t 80,72(下) Fig.5 t 16,195 (top) and t 80,72 (bottom) from load condition 1, 4 and 5

3实验应用

本节中利用STF的不变性对实验的方案进行选择。

考虑如图6所示的管线振动台模型实验系统，模型通过夹具固定在振动台台面上，水平向振动响应通过自南向北布设的10个加速度传感器(H1~H10)捕捉。对于实验设计和特征提取来说，模态参数数据都是必不可少的，考虑到实验中管线将处于较为复杂激励条件下，所以通过OMA技术获取模态参数更为合适。

整个实验系统可以划分为如图7所示的四个部分，实验过程中振动台控制系统驱动台面运动，台面再通过固定在其上的夹具将这种运动传递给模型。由于台面的刚度和质量远大于模型的，可以近似认为图7中的实验系统能够表示为图2所示结构形式，其中振动台控制系统提供激励，与振动台台面耦合的控制系统部件是子结构A，振动台台面和夹具相当于自由度b，将模型作为子结构B。这样，无论振动台以何种方式输入平动激励，在激励的非零频带中模型在对应方向的响应都将保持不变，因此基于STF的OMA方法不适用于该类实验，应该另选其它的分析方法。

图6　管线振动台模型实验系统及水平向加速度测点 Fig.6 Vibration table test system of pipe model and acceleration measuring point of horizontal direction

图7　振动台模型实验系统的组成 Fig.7 Components of vibration table model test system

这里基于文献[15]中提出的虚拟频响矩阵(virtual frequency response matrix)验证上述判断的正确性，下面简略介绍文献[15]中方法的原理。在Nl次互不相关的加载过程中，关于参考自由度j可以得到Nl(No-1)个STF，将这些STF关于每个复变量s组成矩阵[T(s)]，规模为(No-1)×Nl。[T(s)]的第i行第l列的元素是第l种荷载条件下自由度i到j间的STF，表示为tij(l)(s)。将[T(s)]进行奇异值分解，表示为

[T(s)]=[U(s)][Σ(s)][V(s)]H

(17)

奇异值矩阵[Σ(s)]是由Nσ=min(Nl,No-1)个以降序排列的奇异值组成的对角矩阵，表示为[Σ(s)]=diag(σ1(s),σ2(s),…,σNσ(s))，其中σ1(s)≥σ2(s)≥…≥σNσ(s)。

可以证明[2]，tij(l)(s)在系统极点s=λr处仅与对应模态在自由度i和j上的振型系数有关，表示为

(18)

因此，当s→λr时，矩阵[T(s)]将趋于如下的秩一矩阵

(19)

矩阵[T(s)]的伪逆可基于奇异值分解表示为

(20)

伪逆矩阵[Σ(s)]+是如下的由奇异值的倒数组成的对角矩阵

由于当s→λr时，[T(s)]除σ1外的其它奇异值都近似为0，所以

(22)

式中，c是不为零的常数。此时伪逆矩阵[T(s)]+的全部元素都将趋于无穷大，表示为

(23)

定义虚拟频响矩阵[Hvirt(ω)]为[15]

[Hvirt(ω)]=[T(ω)]†

(24)

其中，ω是圆频率变量。显然，系统极点集合是[Hvirt(ω)]中元素的极点集合的子集。

图8　由不同荷载下结构响应得到的虚拟频响矩阵的 元素。上：第1行第1列元素；下：第2行第5列元素 Fig.8 Elements of virtual frequency response matrix from structure responses of different load conditions. top: element from row 1 column1; bottom: element from row 2 column 5

根据这一理论，基于振动台先后分别输入水平向白噪声，EL-centro1940波，天津波时图6中全部测点的加速度响应可以得到一系列规模为3行9列的虚拟频响矩阵，其第1行第1列和第2行第5列的元素关于频率的图像如图8所示。显然，图像中未包含显著的模态信息。

4结论

综上所述，本文的结论可以系统地表述如下：如果一个线性结构可以表示为如图 2所示的子结构A-中间自由度p-子结构B的形式，则在激励不为零的频段中，子结构B中的STF具有如下的性质。

(1)子结构A中各自由度的质量或约束条件的变化不会对子结构B中的STF造成影响；

(2)子结构A中各自由度间的联系属性(刚度，阻尼)的变化不会对子结构B中的STF造成影响；

(3)如果系统中的激励全部作用于子结构A，或自由度p上，在激励不为零的频段中子结构B中的STF或者自由度p与子结构B中自由度间的STF与激励的数量，大小，分布和属性无关。

本文中通过数值算例验证了以上性质的有效性；在振动台模型实验中的成功应用表明，这些性质对处理实际的问题是有价值的，随着针对标量传递率函数的研究的深入，这种价值也必然会得到越来越多的体现。

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