相似性，类比教学从这里出发
——以人教版“实数”单元的几个概念为例

☉江苏省如皋市搬经镇初级中学陈梅

相似性，类比教学从这里出发
——以人教版“实数”单元的几个概念为例

☉江苏省如皋市搬经镇初级中学陈梅

类比，是一种获得新结论的重用推理形式.在数学认知活动中，主要指由两个知识因其本身或其获得过程中存在某些相同或相似之处，推断它们在其他方面也可能有着某些相同或相似之处.作为学生获取数学知识的重要方法之一，类比在初中生数学学习中得到了广泛的应用.我们常常借助于数学知识在外形、内涵、认知方式等方面存在的相似性展开数学教学，以帮助学生获得“四基”、提升“四能”.那么，究竟知识间具有哪些相似性时，类比才能“登台唱戏”呢？笔者认为，这些相似性可以从教材编排、教学内容、概念的名称及其生成与应用等角度进行分析，只要新知与旧知之间存在一定的相似度，类比教学便可以即时展开.现结合人教版七年级下册“实数”单元的几个概念谈谈笔者对此的思考，说得不对的地方，敬请批评指正.

一、相同的教学内容和教材编排

教材是教师教和学生学的最重要的“抓手”.因此，类比教学首先应从教材中挖掘“相似性”，在相近的概念教学时，要仔细剖析教材，关注教学内容的雷同度和编排方式的相似度，以便从中找出类比教学的“切入点”.从类比教学的角度对初中阶段的多个版本教材进行综合分析后，笔者发现几乎所有的教材都特别关注相近概念教学结构的延续性，它们不只是教学内容上具有相似性，而且所选择的教学素材非常接近，这些素材的编排采用了相同的“模板”，学生在学完第一个概念后，后续的学习便可以沿用前面的“模板”类比着学下去.

案例1“平方根”与“立方根”的教材对比.

平方根和立方根均是从一则问题引入，前者是以纯数学情境“如果一个数的平方等于9，则这个数是多少”引入的，后者则沿用了算术平方根的情境引入方法，设置了一道“已知立方体的体积，求棱长”的实际问题.这两个问题的探究主旨是相同的，其目的都是为了引出本节课的概念.所以，教材直接从问题解决中抽象出本课时的概念——平（立）方根，从文本和符号两个角度给出了定义，然后根据概念的简单应用，归纳得出“正数、0和负数的平（立）方根的特点”.

教学分析：从上面的分析，我们不难看出编者在安排“平方根”和“立方根”这两个概念的教学时，有意安排了情境引入、概念呈现、简单应用、特点概括、符号表示、化简求值等相同教学内容，并按照固定的顺序呈现在教材中.在教材教学化过程中，这些教学内容和教材的编排上的诸多相似点是很容易被我们发现并加以利用的.比如，在学生学完“平方根”之后，我们应有意识地追问：这节课我们是从哪几个方面来研究平方根的？获得了与平方根相关的哪些知识？在开始学习“立方根”时，我们可以这样设问：根据你学习“平方根”的经验，猜一猜我们这节课将会从哪几个方面来认识立方根？会获得哪些与立方根相关的知识？让学生带着自己猜想的结论展开对“立方根”的探究，学生已有的知识和经验将会发挥巨大的作用，熟悉的内容、相同的套路将会让学生迅速进入状态，立方根知识的获得及应用将会变得异常顺利.

二、类似的概念名称和陈述方式

数学概念“因名而异”，不同的名称应有着不同的内涵，当然，对应概念的外延也就会存在一定的差别.内涵与外延差异程度的大小，直接决定了类比学习的适用程度.初中阶段，概念教学是数学新知教学的主要内容.在这一阶段，我们所要学习的概念并不复杂，教材中所下的定义基本上就是一两句话的事，简洁的数学语言让人“一读明了”.所以，对于一些“名称”相近、陈述相似的概念，我们常会充分应用学生已经积累的下定义模板和基本活动经验，让学生根据前一概念的定义类比着给新的概念下定义，培养学生的创新意识和创新能力.

案例2“算术平方根”、“平方根”与“立方根”的概念对比.

仅从概念的名称看，三个概念都有“方根”二字，其名称是非常接近的.三个概念在教材中出现的顺序与标题中的顺序完全一致，在实际教学中，我们首先接触到的是“算术平方根”，教材给出的定义是“一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根”.这是从文字和符号两个角度给出的定义，其条件分别为：（1）如果一个正数x的平方等于a；（2）x2=a.结论都是“这个正数x叫作a的算术平方根”.与此类似的，接下来的平方根和立方根也是从这两个角度给出定义的，而且定义的模板与算术平方根非常接近.文字语言的定义：一般地，如果一个数的平（立）方等于a，那么这个数叫作a的平（立）方根；符号语言定义：如果x2=a（x3= a），那么x叫作a的平（立）方根.很明显，这三个概念不仅名字上非常接近，而且其概念的陈述上只是个别词语的差异，这样的差异给类比学习提供绝佳的时机.

教学分析：算术平方根、平方根和立方根是“实数”单元的三个基本概念，充分理解这三个概念的内涵是学生学习无理数，以及将数的运算法则、运算律、运算顺序从有理数顺利拓展应用到实数范围的基本保证.因此，让学生顺利理解这三个概念成为这一章教学的关键.根据三个概念的名称及教材给出的定义，我们不难发现，类比在此处有了“用武之地”.为了实现单元教学目标，我们应特别重视“算术平方根”的教学，这是本单元类比学习的起点.在学生获得算术平方根的概念后，我们应引导学生从定义的陈述方式入手对其进行剖析解读，以便学生明晰接下来的下定义可以从文本、符号两个角度进行，这就是后续学习的经验.当然，对概念的详细剖析还应包括对概念中“关键词”的解读，这样做有利于学生理解概念间的差异，清除类比下定义的一切障碍.在接下来的两个概念的学习中，为了能顺利从设置的引入情境中抽象出概念，我们可以提出“你能类比算术平方根下定义的方法给平（立）方根也下个定义吗”的问题，以此引导学生应用前面的经验、模板尝试给新的概念下一个较为规范的定义.这样的尝试一旦成功，将会进一步强化学生的经验积淀，将类比学习提到一个更高的层次上，全面提升学生的数学学习能力.

三、相似的生成过程和应用过程

在类比教学得以顺利实施的众多“相似性”中，知识的生成过程及其应用过程的相似性是最重要的，也是对类比教学成效影响最大的.因此，我们在分析概念并尝试选择类比的方法展开教学时，应首先弄清楚这些知识的生成过程和应用过程.新的数学知识，其生成与应用过程一般都有着相似之处.这是概念教学的重头戏，学以致用是数学知识学习的“终点”，也是新的数学知识学习的起点.显见，当概念间在其生成与应用过程上存在着极近的相似度时，类比教学便可直接走进学生的探究活动之中，成就有效的数学学习.

案例3“算术平方根”与“立方根”的生成及应用过程对比.

在人教版教材中，预设的算术平方根与立方根生成的过程几乎是一致的.都是先给出一个实际问题，然后将其数学化，转变为“已知一个正数的平方，求这个正数”和“已知一个数的立方，求这个数”的问题，进而抽象出概念，并从文字和符号两个角度给这两个概念分别下定义.接下来对这两个概念的应用教材同样给出了一致的过程，都要求学生先思考“哪个正数的平方等于这个已知数”或“哪个数的立方等于已知数”，在此基础上才能准确得出已知数的算术平方根或立方根.当然，在学完两者的符号表示后，教材还呈现了包含这两种符号的算式的化简，为的是让学生进一步明确这两个概念的含义，并为后面的二次根式的计算提前做好准备.不难看出，这两个知识除概念名称和概念描述上存在微小的差异外，其教学过程及应用过程几乎是一致的，我们可以在教学中将前一知识的教学经验直接迁移到后一知识的学习与应用中去，以类比的方式展开教学.

教学分析：数学问题，是引发学生探究新知的“源头”.设置实际问题引入，再从实际问题解决的过程或结果中抽象出基本概念，这是初中代数教学的常用套路，也是教材编写的基本模式.显然，本单元的这几个概念并没有“脱俗”.这样概念引入与生成过程的设计，完全符合类比教学的要求.再来说说概念生成后的应用，两者的应用套路是一致的.细细分析教材40页的例1和49页的“探究”，我们不难发现，概念应用的切入点完全相同，解题的套路也是一样的，如果都用符号加以表示的话，其差异也是微乎其微的.

相似能给人熟悉的感觉，当我们面对相同或相似的情境时，此情此景不得不引发我们美好的回忆，这就是我们常说的经验唤醒，当这些经验在教学中被我们有序地应用到新知的获得过程中时，这就是类比学习.为此，我们要帮助学生，鼓励学生，更要为他们积累类比学习的经验提供机会.课上，我们要从时间和空间两个维度上给予他们充分探究交流的可能，只有这样，才能让他们在获得知识的同时，积累更多的学习方法，从而为其人生的可持续发展奠基.

1.印冬建.突出核心主线追求有效教学——谈初中数学有效备课的做法和思考［J］.中学数学（下），2014（1）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.林群.义务教育教科书·数学·七年级（下册）［M］.北京：人民教育出版社，2015.

4.林群.义务教育教科书·教师教学用书·数学·七年级（上册）［M］.北京：人民教育出版社，2015.H