小议评课的视角——以“直线和圆”为例

☉江苏省连云港市厉庄高级中学柏贵业

小议评课的视角——以“直线和圆”为例

☉江苏省连云港市厉庄高级中学柏贵业

课堂教学水平是教师最基本的教学诉求，是一个教师立足讲台最根本的点.在很多不同场合，人教版教材编者北师大钱跃铃教授多次提出对当下课堂教学的看法：第一，要把教材中编者的编写意图通过教学设计进行渗透；第二，教师要不断提高对教材的阅读能力，这就需要教师多走出去、多交流探讨、多评评课，相互切磋才有提高；第三，课堂教学宜慢不宜快，现在有些课不能说是数学课，而是训练课，因为教师对于知识的不理解造成了只有通过大量训练去理解数学，这样的课堂需要改变.

无独有偶，从学生层面我们也感受到另一种看法：数学课非常枯燥，就是不断的做题，不好玩，让人提不起兴趣.而且课堂教学中也没有什么顺序性，题目编排随意，问题千变万化，总之与其他学科相比，兴趣不大.

要解决上述问题，只有提高课堂教学才是关键.笔者认为，这不仅提高了学生对课堂教学的兴趣，而且也提高了教师对教材中知识的理解，一举两得.本文从笔者聆听的一堂“直线和圆”的复习课入手，与大家一起剖析评价看看课堂教学如何才能更高效、更有效，不当之处请读者批评指正.

一、教学回顾

笔者简单介绍本复习课的流程：

1.知识回顾

该教师罗列直线和圆的三种位置关系：相交、相切、相离，并用代数和几何双重角度引导学生复习直线和圆问题解决的一般方向，并从题型教学的角度给出了一般需要解决的类型：求弦长、求圆方程、求切线、求圆心角、求弦心距、求点线距离、求最值范围等.

2.新课简介

该教师罗列三种问题类型，第一类型是弦心距的使用，第二类型是切线问题求解，第三类型是圆心到直线距离的问题，最后给出高考真题再现.问题如下：

例1已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0.（1）判断直线kxy+8=0和圆的位置关系，并说明理由.（2）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

例2已知圆C1：x2+y2=1，C2：（x-3）2+（y-4）2=4，由点M向C1，C2所引切线长相等，求动点M的轨迹方程.

例3点P是直线2x+y+10=0上一点，PA，PB与圆x2+ y2=4分别相切于A，B两点，求四边形PAOB面积的最小值，并求此时P点的坐标.

3.高考真题再现

例4（2015年湖南文13）若直线3x-4y+5=0与圆x2+ y2=r2（x＞0）相交于A、B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r=__________.

例5（2013年湖北文14）已知圆O：x2+y2=5，直线l： xcosθ+ysinθ=1）.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k=_____________.

例6（2016年江苏18）在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4），设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程.

4.课堂小结

请学生回顾本课所使用直线和圆的基本知识和基本技能.

二、评价视角

对于课堂教学的评价，结合上述案例，可以从这么几方面入手：

1.情境视角

本课并未在复习环节使用情境，笔者认为这也无可厚非，毕竟情境不是任何知识都需要的.但是从数学具备运用价值这一角度来看，有情境总比没有来得更好，尤其是在一些公开展示课环节，笔者认为还是不宜缺失情境的引入.此处让笔者想起的是曾经观摩的一堂省级展示课，教师就本课使用过的一个情境——“驾校绕铁饼的视频”来引入，显然这样的生活实例比较贴近生活，经过课件上形象的图片展示，让学生又产生了“原来如此”的感叹，使学生了解了数学在生活中是无处不在的，引发了之后的学习兴趣，既合理地引入了知识，又体现了数学的生活之用.

2.设计视角

这里对于某些例题的设计和掌控，笔者认为有些商榷之处：本课时所要教授的直线与圆位置关系判断的几何法与代数法并不难，是不是可以把前半节课到例2为止的内容都设计成学生的小组合作探究活动，让学生充分参与到知识的生成过程中来，并在各练习与例题的解答上作展示与补充，笔者想是不是更能让学生体会到学习的动力与成就感.因为新课程的理念就是要注重学生知识体系的自我生成，单纯的讲授可能会带来更多教师的理解而不是学生的理解.

比如该老师在讲例1时，解题过程中关于“为什么先要判断点在圆外？为什么会出现分类讨论？为什么数形结合更直观”的结论都给出的很快，可能学生课后想想是对的，但在课堂上学生的体验并不如表达的那么流畅，其实，这些并不一定要老师来讲明，是可以通过学生的自主探究来体验和默会的，这就是数学学习为什么“悟性”很重要的原因.

其次，笔者拿到这份学案，第一感觉是没有课本例题，后半段全是题型教学，当然这是有老师的用意的，但笔者觉得教材中问题是我们上课时不能丢弃的.课本两个例题是体现本课时教学目标的典型例题，即“如何判断直线与圆位置关系”和“已知位置关系如何求方程”.其中例2的课本解答在学生预习时是会产生遗留问题的，它是已知过定点的直线被圆截得的弦长，求直线方程，课本解答是从设直线方程为点斜式开始，最后几何法求出了两解.答案正确，但不能展现思维过程，因为直线斜率是否存在是需要考虑的，而课本过程易诱导学生忽视这一点，那么我们可以在探究过程中请学生自己去发现它的问题，以及思考如何正确解决？也就自然引出了作图，说明数形结合是最好的办法.

再次，笔者不太赞同该老师在本课时教学中去强调几何法相对代数法的简洁，这点教师不说，学生也知道，上台板演的两位学生就同时选择了几何法.而从单元设计的角度来看这课时的地位与作用：几何法是初中就已学的，这里主要是利用点到直线的距离公式，起到的是“承上”的作用，教师应强调它的本质还是解析几何的“坐标法”.代数法则是从方程入手把握线圆位置关系，真正涉及了解析几何的核心，它比几何法烦琐是代数法求解解析几何问题的特征，“不一定很难却一定很繁”，很繁为什么还要讲，因为它具有一般性，它是为之后讲圆锥曲线与直线位置关系做铺垫的，起到的是“启下”的作用，在此教师应说明现在学习代数法不是鸡肋，而是为今后学习中需要的几何问题代数化的抽象思维来预热，目的是使得学生学到圆锥曲线与直线位置关系时有一种豁然开朗的顿悟：噢，现在才是主题，才是适用性更广、更一般化的思考方式.在学生熟练了代数法之后，再来提及几何法在解题上的优越性，又是一般到特殊的思维变迁，更突显了几何法的灵动.

3.创编视角

当然本课也不是毫无优点，以例3为一个引子，展开的一系列探究展示了该老师的个人修养与教学魅力，将学生与在场老师都深深吸引，渐进式的探究也让学生感叹原来前半节课简简单单的几何判断法竟有如此大的作用，得到了这一系列优美结论，学生的心灵再次受到震撼，这种展示数学美的教育功能正是我们平时追求和寻找的，在此堂课上得到了完美的诠释.另外，笔者认为学生与教师形成了一种默契，不论是个别回答还是齐声作答都显示了该老师在平时注重启发引导学生思考的习惯，同时学生的预习也很到位.

整体而言，就笔者来看，上述对于教材问题处理的不合理，以及问题间联系的不紧密，使得整个课堂教学比较松散，也没有明确的主线.因此可以课后做出一些反思、评价，为后续提升教学有效性和教师专业化水准继续努力.

从现阶段很多观摩课中，笔者发现对于复习课的教学设计需要做精心的准备，这种准备是历经教师教学经验的一种积淀，并尊崇下列原则：对教材例题进行深加工.以本课为例，笔者以为可以从教材的例题出发，结合高考问题进行深加工：

例7（教材必修2）已知直线l：3x+y-6=0与圆心为C的圆C：x2+y2-2y-4=0.判断直线l和圆C的位置关系；若相交，求出它们的交点坐标.

使用建议：学生探究，代数和几何两种方式求解.

创编问题1：若直线l：3x+4y-m=0与圆C：x2+y2-2y-4= 0相切，则m=______________.

创编问题2：若直线l：3x-4y+5=0与圆C：x2+（y-1）2=r2相交于A、B两点，且∠ACB=120°（C为圆心），则r= ___________.

问题探究：直线l：x+2y-10=0，设圆C：x2+（y-1）2=5上到直线l的距离为Δ=1的点的个数为k，则k=__________.

（3）请你说说看，k值有多少种可能呢？（五种，k=0、1、2、3、4均有可能，请同学们课后做详细的探究）

有兴趣的读者可以对比下笔者给出的创编问题1、2和问题探究，都是基于高考真题的一种改编（分别是2015年安徽文8、2015年湖南文13、2013年湖北文14、2016年江苏18），这种基于教材的改编和源自高考真题的结合，使得教学往往来得更具张力.

4.反思视角

从应试角度而言，本课原有的课堂设计、实施、练习达到了一定的预期，但从课堂教学发展的方向和新课程实施的理念来说，完全是背道而驰.从这样的课堂中，笔者也充满了深深的忧虑：可见很多时候我们的常态课教学更是如此！其一，内容繁杂、冲淡主线，该老师本课所涉及的知识其实并非一堂课可以完成，将其开发成一个专题或系列更好，从本课作为复习的第一课时而言，其重点依旧侧重于用几何法研究直线和圆的位置关系，因此可以删减类型一中求直线方程、类型二中相关求切线方程、切线长等问题.本课明线在于dr，暗线在于数形结合思想的体现，即几何法.其二，数学训练试题的设计结构缺乏一体化，体现在问题间的连贯性不足、审题耗时较多等.以上文中，笔者提供的问题串创编一体化设计的改编方式，大大提高了复习课教学的利用效率.

总之，从一堂课的评价中，笔者也反思了数学教学不仅在于应试，更要有高一层次的境界追求，这也是教师专业化发展对于教师课堂教学水平、教学艺术的一种提炼，对于自身不断提高课堂教学的水平有着极大的作用.

1.喻国勇.“研究”与“成长”齐飞秋水共长天一色——谈命题研究与教师的专业化成长［J］.中学数学（上），2013（8）.

2.沈恒.脚踏实地仰望星空［J］.中学数学研究，2013（10）.