超级画板对学生直观想象能力的培养探究

乔 霁，高 琳，庞之与，杨 芳，陈 莉

(贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州贵阳 550018)

超级画板对学生直观想象能力的培养探究

乔 霁，高 琳，庞之与，杨 芳，陈 莉

(贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州贵阳 550018)

如何培养学生的数学核心素养是目前数学教育的热点话题。直观想象是数学核心素养的重要组成部分，良好的直观想象能力有助于学生深刻体会数学的创造过程，形成严谨的逻辑思维能力。融合信息技术培养学生的数学核心素养是数学课程改革的方向之一。针对数学中的动点型问题、动态图形重叠面积问题及圆锥曲线问题，探究如何借助超级画板在几何直观方面的优势来培养学生的直观想象能力。

超级画板;核心素养;直观想象

“要根据实际情况和各学段学生的特点，把核心素养和学业质量要求落实到各学科教学中”是2014年4月教育部印发的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中明确提出的要求。数学是学生学习的主要课程，是一门基础学科，因此数学核心素养的培养尤为重要。培养数学核心素养有利于学生学会用数学的角度去观察、分析和认识世界。高中课程标准修订组按照内涵、价值和表现的框架，给出的高中数学核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析［1］。其中直观想象是指利用几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思维过程。它是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础［2］。

2001年，张景中院士和李传中教授提出智能教育平台的思想，强调要加强“用数学”方面的教育［3］，“用数学”更加体现了高中数学具有的发展性。数学的学习不仅要在提升核心素养上下功夫，还要注重学生的可持续发展。超级画板，即“Z+Z”智能教育平台，是帮助学生认识数学本质、形成和发展直观想象能力的一个非常好的操作平台。它将动态几何、符号运算、自动推理、编程环境以及课件制作等进行有机的集成，发展成集动态图形与动态计算于一体的逻辑动漫平台，这一基于动态几何的平台，能画、能算、能动、能变、能测，是深入数学学科的信息技术［4］。

强调信息技术应用于教育是当前课程改革的焦点。超级画板在培养学生的直观想象能力方面有巨大的优势。在具体数学问题中，借助超级画板可以实现几何直观的呈现、图形变化的过程、数学模型的建立等，这些都有助于学生认识事物的运动规律、形态变化和位置关系。学生在教师引导或自主应用超级画板解决数学问题的过程中可以培养和提高直观想象能力。

本文将从中学数学中的三类典型问题:动点型问题、动态图形重叠面积问题和圆锥曲线问题来探究如何借助超级画板培养学生的直观想象能力。

一、动点型问题

动点型问题是指题中图形存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线或弧线上运动，求其动点的运动轨迹或者运动规律的问题［5］。问题难点在于需要学生利用几何直观了解动点的运动规律以及数与形的联系，有较强的综合性。解决此类问题的主要思想方法是以静制动、数形结合。借助超级画板可以将文字转化为图形、化抽象为直观。直观呈现动点的动态过程，有助于学生观察动点的变化情况，发现动点的运动规律。学生在图形变化中探索不变的性质，增强运用几何直观想象解决问题的意识，提高数形结合能力，让直观想象能力得以形成和发展。

例1:(2011年江西高考卷理科卷第10 题)一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，ABCO和OC是小圆的一条固定直径的两个端点。那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M、N在大圆内所绘出的图形大致是( )。

图1

本题主要考察摆线的参数方程。分析出动点M、N与定圆圆心的相对位置的变化是解答本题的关键。学生通过纸笔作图难以得出M、N的位置变化情况。运用超级画板中的作图、动画和跟踪等功能，将问题以动画的方式呈现，得到动点的运动轨迹，进而解决问题，发展学生几何直观能力。把原本用参数方程解决的静态问题提升到动态问题上，通过动态化的问题呈现得到更具体的理解，学生在感受动态过程中培养了直观想象能力。针对本题，在超级画板中可以便捷地设置动圆的半径大小，进而改变了定圆和动圆半径比。将内容拓展到内摆线的知识，有助于学生深入理解内摆线，培养创新思维。

动态实现:①以原点O为圆心作半径为1的大圆，并作坐标点A(cos(a)，sin(a))即大圆上一点(这个点也是运动时大圆与小圆的切点);

②以OA为直径做小圆，圆心为B;

③将A点绕小圆圆心B旋转-2a(负号是因为切点旋转方向与小圆自身转动方向相反，2倍是由于弧长相等但半径一个是2，一个是1，所以角度是2倍)，得到点C(即需要观察的直径的一个端点);

④将点C绕小圆圆心旋转pi得到需要观察的直径的另一个端点D;

⑤设置a的动画，跟踪点C、点D，所得图形即为所求。(过程呈现见图2)

图2

二、动态图形重叠面积问题

动态图形重叠面积问题是指图形通过平移、旋转、翻折或缩放等运动，其中一个图形与另一个图形重叠，并求其重叠部分的面积与运动变量之间的函数关系［6］。问题难点在于需要学生准确把握重叠图形的形状变化，注意形状变化的临界点，在运动中分析，在变化中求解。解决此类问题的主要思想是先确定自变量的取值范围，分类重叠面积的形状，再确定临界点，进行静态分析，从而分段计算。借助超级画板能直观呈现重叠面积的变化过程，有助于学生直接看出重叠部分图形的变化和不同形状之间的临界点。学生在求解的过程中体会数形结合和分类讨论的数学思想，建立良好的数学直觉，积累此类问题的活动经验。

例2:(2009年徐州中考卷)如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在x轴的正半轴上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8。正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO面积。将正方形ODEF沿x轴的正方向平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S。

正方形ODEF平行移动过程中，通过操作观察可判断S(S＞0)的变化情况是( );

A．逐渐增大 B．逐渐减少

C．先增大后减少 D．先减少后增大

图3

本题涉及了平移、一次函数和二次函数等知识点。准确判断重叠部分图形并分类，确定重叠图形形状变化的临界点，逐段分析并计算图形的面积是解答本题的关键。学生很难想象重叠部分图形的形状并确定临界点，其中，重叠部分为五边形时是学生最难想到的。运用超级画板的填充区域、测量和跟踪等功能，将重叠图形的变化以动画的方式呈现。结合点O的移动距离，学生能从中找出临界点的具体值，进而分段计算图形面积，运用函数作图及跟踪功能呈现变化曲线从而解决问题。在此题求解的过程中，提高了学生用以静制动的眼光分析和解决问题的能力，培养和发展了学生的直观想象能力。

动态实现:①依照题意，作出正方形OABC和直角梯形DEFG(坐标点用变量a表示)，分别将正方形和直角梯形设置成多边形并作出两个多边形区域的交;

②观察重叠面积的变化情况并进行分类，分别测量不同情况的面积;

③设置J点横坐标为梯形向右移动的距离，纵坐标为重叠的面积(利用画板中的符号函数sign(a，b)来表示)［7］;

④对a的值进行动画(区间为［-6，8］)并对J点进行跟踪得知重叠面积与O点向右移动的距离的函数变化。(过程呈现见图4)

图4

三、圆锥曲线问题

圆锥曲线类问题主要涉及求圆锥曲线方程、弦长问题、垂直问题、参数范围问题、向量问题［8］。问题难点在于需要学生将圆锥曲线与函数等知识紧密联系，运用圆锥曲线图像分析问题，构建圆锥曲线问题的直观模型。学生需要一定的直观想象能力形成解决问题的思路，借助几何直观可以把圆锥曲线的弦长、垂直、参数范围等问题简明、形象的表示出来。解决此类问题的主要思想方法是用坐标法研究直线与圆锥曲线之间位置关系及方程与曲线之间的联系。借助超级画板，学生能从可视化图像中巩固基础，联系相关知识点尝试建立数学模型，找到解题思路。超级画板还具有很强的开放性，可以从本质上探索圆锥曲线的几何性质。在问题解决与问题再探究中，增强学生从几何直观的角度来思考问题的意识，培养创新思维，提高直观想象能力。

例3:(2012年湖北高考理科卷第21 题)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点 M在直线l上，且DM = mDA(m＞0且m≠1)。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标;

(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C 于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H。是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH?若存在，求m的值;若不存在，请说明理由。

本题考察的重点是函数、导数、不等式的证明等知识点。运用化归与转化的思想方法，分析函数的图像变化，对m值的正确理解是解答本题的关键。问题(1)中，由于m值的不确定性，学生难以把握变量改变后的图像变化，建立数与形的联系。学生需要纸笔大量地作图，才能确定轨迹。运用超级画板的动画和跟踪功能，可直接观察到轨迹变化情况并判断圆锥曲线的类型，化抽象为直观，进一步确定轨迹方程。问题(2)中，变量的增多加大了学生纸笔解题的难度。运用超级画板的变量尺和测量等功能，根据题目作出几何图形、设置变量，通过调整变量值可直观看出图像变化并判断m值的存在性。针对超级画板中变量易控制的特点，学生可自主探索圆锥曲线中的其它问题。例如当题目中的PQ、PH所成角度不为90°时，k值的改变可影响角度的大小。在学生自我探索的过程中，提高自主学习和解决问题的能力，发展直观想象能力。

动态实现:针对问题(1):根据题意用超级画板作出单位圆并在其上取一个半自由点A，过点A作与x轴垂直的直线l并取其与x轴的交点D，接着在直线l上任取几个点并对其进行跟踪，再对点A设置动画。(过程呈现见图5)。

针对问题(2):根据题意运用m变量作出椭圆、k变量作出直线并取其与椭圆交点。然后改变k值，作出射影点N进而作出另一条直线QN及其与曲线的交点。(过程呈现见图6)

图5

图6

四、结语

直观想象是数学核心素养的重要组成部分。建立数与形的联系是培养学生直观想象能力的关键。超级画板中的动态作图和图形可视化是实现数与形结合的良好助推器。文章以动点型问题、动态图形重叠面积问题及圆锥曲线问题为例，利用超级画板将复杂问题简单化，从而确定解题方向，引发学生的思考并形成学生解题的直接经验，最终说明超级画板在培养学生直观想象能力方面的优越性。培养学生的直观想象能力，对学生理性认识和分析问题以及提升学习兴趣作用很大，利于学生在生活中更好地“用数学”。

［1］教育部课程标准修订组．普通高中各学科核心素养一览表［EB/OL］．http://learning．sohu．com/20160422/ n445632409．shtml．

［2］何小亚．数学核心素养指标之反思［J］．中学数学研究(华南师范大学版)，2016(13):53+1-4．

［3］彭翕成．运用超级画板开展中学数学实验［J］．数学通报，2008(06):44-46+50．

［4］徐章韬．超级画板:获取数学基本活动经验的优秀认知平台［J］．数学教育学报，2011(03):97-99．

［5］李伟泰，曹嘉芮．探究中考中的动点问题［J］．中学数学研究(华南师范大学版)，2015(14):39-40．

［6］顾桂新．运用几何画板动态解析中考数学动态问题［D］．广州大学，2012．

［7］张景中，彭翕成．数学教育技术［M］．北京:高等教育出版社，2009:234-238．

［8］姚尉林．圆锥曲线中几类典型问题的求解方法［J］．数学通讯，2008(Z1):19-21．

［责任编辑:周冬梅］

On the cultivation of students’intuitive imagination in the super sketchpad

QIAO Qi，GAO Lin，PANG Zhi-yu，YANG Fang，CHEN Li

(School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Education University，Guiyang，Guizhou，550018)

How to cultivatestudents＇mathematical core competency is a hot topic in the current mathematics education．Intuitive imagination is an important part ofthe students＇mathematical core competency．Good intuitiveimaginationwill help students to experience creative process more profoundly and form rigorous logical thinking ability．The integration of information technology andmathematical core competency is one of the directions of mathematics curriculum reform．Thispaper，based on the movable pointproblems，overlapping area of dynamic graph and conic curve problems，explores how to take advantage of the strength of the super sketchpad to cultivate students＇ability in intuitive imagination．

Supersketchpad;Corecompetency;Intuitiveimagination

G633．63

A

1674-7798(2016)09-0068-05

10.13391/j.cnki.issn.1674-7798.2016.09.014

2016-06-25

2014年贵州省本科教学工程(教学内容与课程体系改革)项目“教育数学思想在本科《中学数学研究》课程体系中的应用与改革”(黔教高发〔2014〕378号);贵州师范学院学生科研项目“超级画板在数学解题中的应用研究”(项目编号:2015DXS101)。

乔 霁(1994-)，女，江苏泰州人，贵州师范学院在读大学生，研究方向:数学与应用数学。