剖析概念关键语，突破教学重难点

魏萍丽

【内容摘要】函数是研究客观世界变化规律的一个重要模型，也是中学数学的核心概念。初中里，函数是学生数学认识上的一次飞跃，从常量数学转变到变量数学，学生对函数概念的形成和掌握都有一定难度。教师在设计和组织《认识函数》的教学中，都会遇到同一个疑问——如何对函数概念进行归纳和剖析？本文以函数概念的关键语为着力点，一一剖析，逐个击破，力求攻破教学的重难点。

【关键词】关键语 剖析方法 设计意图 反思

《认识函数》不仅是一堂章节起始课，更是一堂从常量数学到变量数学的认知起始课，而且这种认知还是原有认知基础的飞跃，因此，函数概念的起始教学显得更难，也更富有挑战性。初中课本里对函数概念描述以简略易懂为宗旨，在教学中，根据学生的认知基础，对概念的关键语进行适当剖析，有助于学生理解函数的本质。

课本函数概念：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。

关键语一：变化过程中，有两个变量x和y。

学生困惑：1.较难理解“变化过程中”；2.不理解两个变量之间的主从关系。

原因概要：学生没有经过动态变化的体验，数学思维仍停留在常量的世界里。

剖析方法：

1.“变化过程”，可通过举例，让学生体验动态变化的过程，并用通俗易懂的语言解释

例如，直棱柱的形状问题（设底面边数为n，面数为m）：

若n已知，则m也确定，但如果不知道直棱柱的形状，则n和m可以取不同的数，即n和m是两个变量。所以在直棱柱形状变化的过程中，有两个变量底面边数n和面数m。

再如，圆的面积问题（设半径为r，面积为S）：

若已知r，则S也确定，但如果不知道圆的形状，则r和S可以取不同的数，即r和S是两个变量。所以在圆形状变化的过程中，有两个变量圆的半径r和圆的面积S。

设计意图：学生能从词面上理解“变化过程”的意思，但并不能理解数学中，为什么“变化过程”是函数概念的前提条件。设计两个常见的数学实际问题，有利于学生理解“变化过程中，有两个变量x和y”这一关键语。

2.“两个变量的主从关系”可下列机器模型和表格帮助学生理解

（1）写出变量x与y之间的内在规则，使得只要知道输入值就可以得出输出值。

（2）把表格的缺失部分补充完整。

设计意图：无论是机器模型还是表格中都用英文单词“in-out”，以此来帮助学生理解两个变量以及两个变量之间的“因果”，“主从”关系，“in”代表首先变化的量x确定一个值，并输入后，通过某个规则，可以“out”，即输出一个唯一确定的y值。同时还能帮助学生理解“x叫做自变量”。

关键语二：唯一确定

学生困惑：混淆两个变量之间的几种关系；不了解为什么“唯一确定”作为函数概念内涵的必要性和合理性。

原因概要：缺乏对“一对一”，“多对一”，“一对多”的比较认识。

剖析方法：

1.探究活动

在古埃及有一个神秘小镇，古人在镇上小山的地道里埋藏了很多宝藏。而要进入地道需要破译很多密码。

“一对一”

第一重地道门的明码是“YGVA KEW”，你能否根据破译规则表写出这个明码的密码？（god is me）

“多对一”

第二重地道门的明码是“GFVAD Z”，你能否根据破译规则表写出这明

码的密码？（on hill）

“一对多”

第三重地道门的明码是“KFMOY Z”，你能否根据破译规则表写出这个明码的密码？为什么？

设计意图：

（1）通过比较，理解现实世界中几种“对应”的方式，“多对一”与“一对一”的特殊意义，有助于对“唯一确定”的理解；

（2）在活动中体会“规则”的重要性，有助于理解“对应法则”在函数模型中的意义。

2.举例辨析

（1）解析法——算一算

判断变量y与x满足下列关系时，y是否为x的函数？为什么？

①y=x2；②y=2x；③y=±x

设计意图：两个变量的关系式是否是函数解析式，其判别方法是：任意选取满足条件的x值，代入关系式，计算结果中y的值是否唯一。

（2）列表法——查一查

辨一辨：上虞国庆黄金周的日最高气温如下表：

请问：T是d的函数吗？

设计意图：表格中两个变量是否是函数关系的判别方法是：表格中d的每一个取值下方，T的值是否唯一。

（3）图像法——画一画

下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程，请根据图象回答下面的问题：

这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？

设计意图：平面直角坐标系中，图像上两个变量是否是函数关系，其判别方法是：在图像范围内，做横轴的垂线，与图像相交，其交点是否唯一（即t每取一个值，是否对应了唯一的s值）。

通过对函数三种常用表示方法的举例辨析，进一步理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，才能说y是x的函数”。

关键语三：函数、自变量

学生困惑：“函数”“自变量”这两个名称很难直观表达概念内涵，学生甚至从词面上错误的理解为：“函数”是一个数。

原因概要：“函数”、“自变量”这样的名称影响了对其涵义的理解。

剖析方法：了解概念的英文表达方式。

1.函数——function本意：“功能、作用”——自变量取值后，在一定规则的“作用”下变成了函数值。

2.自变量——independent variable本意：“不依赖于谁的变量”。

3.因变量——dependent variable本意：“依赖于谁的变量”。显然y是依赖于x的变化而变化的。

设计意图：弥补概念的中文名称形成的学习障碍，让学生从名称的英文解释中理解函数的关键内涵。

反思一：立足本质

数学教学设计及课堂教学组织应立足数学本质，着力解决教学中遇到的疑难问题。基于此，把握课程标准，研透教学目标就显得十分必要。浙教版教材在编写意图和教学建议中阐明“两个变量之间的函数关系，只有在问题情境中蕴含的数量关系基础上才能建立，才真正具有意义。因此函数教学中无论是知识的发生过程，还是应用过程，都要充分运用实例，包含可以进行的实验”。因此在函数概念教学中，选择学生容易接受的典型情境剖析、探究函数概念，使学生在情境的识别和辨析中逐步体会它的形成过程，并一次又一次的亲身感悟，逐步抽象出函数概念，使学生对函数的认识由模糊到清晰、由粗略到精确，这种教学过程是概念教学中值得借鉴的。

反思二：注重过程

现代教育心理学研究指出，学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。这个过程一方面是暴露学生产生各种疑问、困难、障碍和矛盾的过程，另一方面是展示学生发展聪明才智、形成独特个性与创新成果的过程。正因为如此，新课程强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验。当然，强调探索过程，意味着学生要面临问题和困惑、挫折和失败，这同时也意味着学生可能花了很多时间和精力结果表面上却一无所获，但是，这却是一个人的学习、生存、生长、发展、创造所必须经历的过程，也是一个人的能力、智慧发展的内在要求，它是一种不可量化的“长效”、一种难以言说的丰厚回报，而眼前耗费的时间和精力应该说是值得付出的代价。

总之，课本是“死”的，而我们的课堂教学却是“活”的。教学中，一定要注重对课程标准的研究，设计基于学生理解的教法，切勿让学生死记硬背。因为数学科学严谨的推理性，决定了搞好概念教学是传授知识的首要条件，而学生概念不清，必将表现出思路闭塞，逻辑紊乱，对法则、定理的理解更无从谈起。因此，对数学概念的教法，是我们数学教师长期探索的一个课题。

【参考文献】

[1] 全日制义务教育数学课程标准（修改稿）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2011.

[2] 王拥军. 数学教学中的过程性例谈[J]. 中学数学教学参考，2012（1-2）：23-26.

[3] 杜育林. 理解教材是上好课的前提[J]. 中学数学教学参考，2013（4）：14-15.

（作者单位：浙江省绍兴市上虞区小越镇中学）