数形结合思想在初中数学教学中的实践研究

林卫

【摘要】 数量比较抽象，难以把握，但图形具有形象、直观的优点，能表达较多具体的思维. 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”、“以数解形”，也就是抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，提高数学教学与学习效率的思想. 本论文论述的就是如何将数形结合思想与初中数学教学结合起来，用好数形结合去实现初中数学的高效教学.

【关键词】 初中数学；数形结合思想；教学研究

初中阶段的学生，抽象思维应用能力较弱，在学习对抽象思维要求较高的数学时，会存在较多困难，而数形结合思想的引入可以帮助学生更容易的理解数学语言、概念，学好这门课程. 数形结合思想在初中数学教学中的实践运用可概括为“以形助数”、“以数解形”两方面，分别应用于简化、解决代数问题和几何问题.

一、“以形助数”，提高代数教学效率

“以形助数”指根据给出的“数”的结构特点，构造出与之对应的几何图形，或根据已给图形分析数的特点，从而化抽象为直观，把复杂问题简单化. 一般表现在两个方面：一是“以形促数”，即利用图形的直观性促进学生理解数或数之间的关系；二是“数难形易”，突出依托图形的直观性，展开形象思维以解决代数问题.

（一）在概念教学过程中的应用

概念是数学基础知识的重要组成部分，数学中的法则都是建立在一系列概念基础上的，初中数学教学中，在帮助学生掌握、理解、巩固概念时，数形结合思想可发挥重要作用.

例如在学习有理数的概念时，数形结合可以非常好的帮助学生理解负数、相反数、绝对值等概念，直观的比较出数的大小. 负数的概念：小于0的数称为负数，在数轴上表示为原点左边的数.

相反数的概念：在数轴上，与原点距离相等的两个数称为相反数. 0的相反数是0

绝對值的概念：在数轴上，一个数的绝对值为这个数与原点的距离. 见图1.

（二）在解题教学过程中的应用

“以形助数”在解决初中数学中的代数问题时应用广泛，以图形作为辅助解题手段，能有效启发学生的形象思维，找到解决问题的最优方法.

例：求二次不等式x2 + 2x - 3 > 0的解集.

按照纯代数解法是首先将以上二次不等式转化为（x + 3）（x - 1） > 0，在转化为两个不等式组x + 3 > 0、x - 1 > 0和x + 3 < 0、x - 1 < 0，然后求得结论.

若应用以形助数思路，获得正确结论的速度和直观性和上述方法不可比拟的. 步骤为，先求出一元二次方程x2 + 2x - 3 = 0的两个根，即：x1 = -3，x2 = 1，再画出y = x2 + 2x - 3的函数图像. 见图2.

从图2中，x2 + 2x - 3 > 0的解集一目了然. 同时又把一元二次方程、一元二次不等式、二次函数通过图像的制作过程直观的联系了起来，能帮助学生在数形结合的过程中理解、掌握和强化以上知识，提高分析、解决相关问题的能力.

二、“以数解形”，利用代数性质解决几何问题

以数助形即有关“形”的问题可借助数式的推演，使之量化，从而准确揭示“形”的性质. 也就是说，从“形”的表象找到“数”的实质，将纯几何问题在“数”的引导和应用下得到最简便合理的解决，由表及里、形中有数，就是数形结合中的“以数解形”.

（一）在概念教学过程中的应用

以学习平面几何中有关圆的内容为例，教师为让学生辨清并牢记点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等概念，就可以应用数形结合思想，通过数来帮助学生理解图形的空间位置.

理解圆与圆的位置关系，可设大小两个圆的半径分别为R和r，R > r，两个圆的圆心距为d，见图3.

则此时可引入“数”来辅助学生理解圆的相切、相离、相交、同心等位置关系. 即：

当d > R + r时，两圆位置关系为外离；

当d = R + r时，两圆位置关系为外切；

当R - r < d < R + r时，两圆位置关系为相交；

当d = R - r时，两圆位置关系为内切；

当d < R - r时，两圆位置关系为内离；

当d = 0时，两个圆的圆心重合，即为同心.

（二）在解题教学过程中的应用

几何题由于有图形显得较为直观，但对于结论与已知条件相距甚远，难以参透其中联系的题型，常常难以找到解题途径，此时引入数的概念，用代数方法去解决几何问题，思路往往能一下子豁然开朗.

三、数形结合思想应用在教学中的必要性

数学研究的是数量关系和空间形式，空间形式最主要的表现就是“图形”，因此“数”与“形”是数学的基本研究对象，也是数学思维的基本内容，因此在初中数学教学实践中，数形结合思想不可或缺. 在教学过程中，教师应注重传授学生“以数解形”与“以形助数”的思维方式，有意识的引导学生应用数形结合的思想去分析和解决问题，注意着重培养学生观察和挖掘图形蕴含的数量关系、正确绘制图形反映相应的数量关系，切实把握“数”与“形”的对应关系等能力，加深学生对所学数学知识的理解与掌握，开拓学生创造型抽象思维，提高学生思维素质，为今后数学学习打好基础.

【参考文献】

[1]杨艳丽. 浅谈初中数学教学中的数形结合[J].数理天地（初中版），2014，（04）：35-36.

[2]闫林.数形结合思想在中学数学教学中的应用[J].才智，2009，（15）：15-18.

[3]唐新阳. 数形结合思想及其在初中数学教学中的应用[D]. 浙江：嘉兴学院，2009：7-8.