从“山穷水尽”走向“柳暗花明”

徐婧

【摘要】 “画图”作为一种解决问题的策略，以直观、形象的外显方式，数形结合思想的内在蕴含，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化. “数”与“形”的相互转化、相互结合既是重要的数学思想，也是重要的解题方法.

【关键词】 数形结合；有意义建构；数学思想

“画图”作为一种解决问题的策略，以直观、形象地外显方式，数形结合思想的内在蕴含，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化. “数”与“形”的相互转化、相互结合既是重要的数学思想，也是重要的解题方法.

现行苏教版教材以图文并茂的方式生动地呈现数学信息，使得“抽象”的数学问题趣味化、生活化，更有助于学生分析问题和解决问题. 由此可见，“图”在小学生的数学学习中有着不可替代的地位和作用.

一、因需而“画”

著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微. 数形结合百般好，隔离分家万事非. ”画图作为一种学习数学的“武器”，显现其独有的价值与妙用. 但不可滥用，只有在学生思维有需要时，才能显现其“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的豁然意境.

1. “画”在思维受困时

文字以干练、简洁的形式传递信息，同时也赋予文字丰富的内容. 对于小学生来说，透过文字信息的表层，剖开内层的错综复杂，寻找解决问题的金钥匙，思维常常被困住，此时，另辟蹊径成为一种迫切需要. 寥寥几笔的图示简明扼要地表达题意，给小学生直观形象的说明和建构，是一种很好的解决问题的方法.

如苏教版四年级数学下册有这样一题：米行有大米若干袋，第一次卖出库存的一半多20袋，第二次卖出剩下的一半少10袋，第三次卖出210袋刚好卖完. 米行原有大米多少袋？

通读题目，不难发现米行原有的大米即是卖出的大米与剩下大米的总和，可是卖出的大米是多少袋呢？一时一筹莫展. 捋捋思绪，我们可以顺着题意画出如下示意图，定能从中有所感悟.

循着题意的来龙去脉，倘若第二次正好卖出剩下的一半，那么剩下的大米就少了10袋，即200袋，不难算出第一次卖出后剩下的大米共有200 × 2 = 400袋；同理可推，倘若第一次卖出的正好是库存的一半，那么剩下的大米就应该是400 + 20 = 420袋，显而易见，米行原有的大米有420 × 2 = 840袋.

纷繁复杂的文字描述或许扰乱了学生的思绪，但凡有了简明扼要的图示，学生即能走出困境，理清数量间的相互关系，解决问题的途径也就水落石出了.

2. “画”在思辨混淆处

小学生的年龄小，思维极易受到相近知识的干扰，导致思辨模糊不清，更有甚者理解片面化、极端化，产生思维定式. 为了弄清知识的真伪，帮助学生形成正确、条理的认知，画图有着不可估量的作用.

如一年级数学中，学习“一个数比另一个数多（少）几，已知其中一个数，求另一个数”时，学生常常会受思维定式的影响，看到“多”就用加法计算，看到“少”就用减法计算，不明就里的张冠李戴，不仅解决不了问题，反而混淆了对新知的理解和掌握.

例1：手工课上，明明做了12朵纸花，红红比明明多做了3朵. 红红做了多少朵纸花？

紧锁题眼“多”，谁做得多呢？是明明还是红红？据题意，可选用表示纸花，画出下面的图示：

明明：

红红：

和明明一样多的部分 比明明多的部分

形象的图示让学生很快找到解决问题的办法，12 + 3 = 15（朵）

例2：手工課上，明明做了12朵纸花，比红红多做了3朵. 红红做了多少朵纸花？

和例1相同的条件仍然是“多”，不同的是“多的对象”. 明明比红红做得多，红红就比明明做得少. 据题意，仍用表示纸花，可以画出下面的图示：

明明：

红红：

比明明少的部分

原来红红做的纸花只有12 - 3 = 9（朵）.

图示辨析了思维，使学生明了“不是看到‘多就用加法计算，也不是看到‘少就用减法计算”. 思维清晰了，问题解决了，方法也就习得了.

二、因“画”而明

美国教育家苏娜丹戴克曾说过：“告诉我，我会忘记；做给我看，我会记住；让我参加，我就会完全理解. ”学生在思维受困、思辨混淆的时候，画图成为学生解决问题的迫切需要，当这种需要通过数形结合的直观显现倾泻在学生的笔下时，学生从中学会梳理，主动进行建构，自然就能获得能力的提升和拓展.

1. 在“画”中梳理

画什么？怎么画？严重影响和制约着问题的解决. 数学的图是用抽象的符号代替具体的实物，把题目呈现的信息通过图画的方式表示出来，即对已知条件和问题进行梳理，梳理的过程也就是思维条理清晰化的过程，问题的解决即初具形态. 如六年级数学中关于“比一个数多（少）几分之几”的实际问题，学生常常确认不了单位“1”的量，自然也就形成了南辕北辙的问题现状. 其实，借助简单的线段图边画边梳理已知条件和问题，思维的角度和方向也就明确了，问题的结果也就水到渠成了.

例：图书角有故事书24本，文艺书的本数比故事书多. 图书角有文艺书多少本？

梳理已知条件，文艺书的本数比故事书多，故事书的本数是单位“1”的量，也就是比较的标准量；文艺书的本数比故事书多了故事书本数的，即把故事书的本数平均分成3份，文艺书多了这样的1份，即有这样的4份. 不难发现，原来文艺书的本数是故事书本数的. 整理线段图如下：

2. 在“画”中建构

义务教育课程标准提出：数学教学要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程. 从这个角度讲，画图不仅为数学表达和交流提供有效途径，也为解决现实问题提供重要工具，从而实现模型思想的主动建构.

如一年级数学中关于括线的认识. 在数学中，括线用来表示将两部分或两部分以上的数据合并成一部分，即加法运算的模型所在. 对于一年级的学生来说，枯燥的概念描述显然是苍白无力的，浅显易懂的图示反倒有着事半功倍的效果，极好地调动学生的学习兴趣，生动诠释了加法的深刻意义. （如下图）

图1中，盤子里有5个苹果，盘子外面有3个苹果，一共有8个苹果. 把左右两部分苹果合起来，完成了加法意义的建构.

图2中，两部分一共有7个羽毛球，其中左边有1个，右边有几个羽毛球呢？这既是对加法逆运算——减法的理解，同时也是对方程的雏形的感知.

3. 在“画”中提升

画图作为一种解决问题的途径和方法，不仅可以形象直观地反映数量间的关系，启迪学生的思维，而且可以通过“画”调动学生思维的积极性，提高学生分析问题和解决问题的能力.

如四年级数学下册“搭配的学问”. 小明买一个木偶娃娃（共3个），再配上一顶帽子（共有2顶）. 小明可以有多少种选配方法？根据日常生活经验，学生不难说出其中的选配方法，但有些凌乱，显得无序，且不够全面. 引导学生发挥图示的优势，分别用自己所熟识的符号表示木偶娃娃和帽子，通过不同的组合，就可以轻松而有序地找到多种不同的选配方法. （摘选部分图示如下）

学生通过画一画，深刻体会到图示对解决问题的重要帮助，选择不同的符号对题意进行梳理，并能结合自己的“画”中思考分析问题和解决问题，寻找到问题的结果，同时也是学会、会学、能学的能力体现.

新的课程改革呼唤创新的思维方法，实现学生的“六解放”，即解放孩子的头脑，使孩子敢想；解放孩子的双手，使孩子能干；解放孩子的眼睛，使孩子会观察；解放孩子的嘴巴，使孩子多说；解放孩子的空间，使孩子能到大自然中去学习；解放孩子的时间，使孩子能充分发挥自己的聪明才智. 画图作为一种创新的、实用的、可操作的学习方式，给予学生更多想像的空间、表达的机会、提升的高度，真正实现乐学、会学、博学的高屋建瓴的最佳境界.