利用二次曲线极线的性质解题

孙志业

【摘要】 极线的应用极其广泛，其可以解圆锥曲线问题，更方便看题目的本质. 也可以与完全四边形产生联系，方便学习数学竞赛和自学的同学利用解析法解决平面几何问题. 同时，极线的形式是统一而优美的，是学生掌握比较好的切线和切点弦的进一步的拓展和统一形式. 本文旨在阐述极线的定义和不同的应用形式.

【关键词】 极线；极点；解析几何；平面几何

例1 抛物线y2 = 4x，P（2，2）在抛物线内部，AB是斜率为1的直线，与抛物线相交但不过P点.若AP，BP与抛物线的另一个交点分别为C，D.证明：直线DA，CB交于一定点M，并求出M的坐标.

思路分析 此题可用常规方法解，即设出A，B，C，D四点坐标，利用A，P，C，共线，B，P，D共线得到坐标间关系从而得到M点.

解 设A，B，C，D的坐标分别，y1，，y2，，y3，，y4，则直线AB的斜率kAB = = = 1，∴ y1 + y2 = 4， = ，y3 - y1， = - 2，y1 - 2，因为A，P，C三点共线，所以（y1 - 2） = （y3 - y1）- 2，∵ y1 ≠ y3，

化简，得y1y3 - 2（y1 + y3） + 8 = 0 ①

以4 - y2替换y1，得y2y3 - 2（y2 + y3） = 0 ②

同理由B，P，D三点共线，得y1y4 - 2（y1 + y4） = 0.

设M（m，n），再由A，D，M及B，C，M三点共线分别得到

y1y4 - n（y1 + y4） + 4m = 0 ③

y2y3 - n（y2 + y3） + 4m = 0 ④

将①，②式分别代入③，④式得

（2 - n）（y1 + y4） + 4m = 0，

（2 - n）（y2 + y3） + 4m = 0.

易得m = 0，n = 2，即AD与BC交于点M（0，2）.

这个题目是大庆实验中学高二期末考试题目，对学生来讲，圆锥曲线的知识难度大，解题时运算复杂.此题也可以先设出特殊直线AB，斜率为1，解出点M，再反过来证明所有斜率为1的直线AB都能使得命题成立.但这两种解法难度都很大，运算也繁琐.

此题实际上利用的是圆锥曲线的极线和极点的知识背景.只是并未点破.题目中的点M是P点对应抛物线的极线上的一点而已.极线与极点的概念来自于射影几何，但近年来，以极线作为背景的题目日趋增多.2010年的全国数学联赛中的几题也是可以利用极线解决的，其推理过程远比直接利用梅涅劳斯定理和圆幂定理简单.首先，我们先介绍极线的概念.

一、极点与极线的概念说明

（一）二次曲线中极线的定义

设P为不在二次曲线C上的点，过点P引两条割线，依次交圆锥曲线于E，F，G，H，连接EH，FG相交于点N，连接EG，FH相交于点M，則MN为点P关于曲线C的极线，点P为极线MN关于曲线C的极点.关于极线的几点说明：

1. 若点P在曲线上，P关于曲线的极线即为点P处的切线.也就是每个点都有极线.

2. 按照P不在曲线上的定义，若定义中的EH，FG平行，或者EG，FH平行，则可理解为两条平行线相交于无穷远点.此时极线也是和两平行线平行的.

3. 若过曲线外一点P可做曲线的两条切线，则极线同时也是点P的切点弦所在直线.

4. 若MN为点P的极线，则MP也为N的极线，NP也为M的极线，三角形MNP叫做自极三角形.

（二）二次曲线的极线公式

若二次曲线的方程为Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0，P（x0，y0）为平面内任一点，则P关于曲线的极线方程为

Axx0 + B（xy0 + yx0） + Cyy0 + D+ E + F = 0.

（三）极点与极线的对偶性

二次曲线中极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线，反之亦然.

二、应用极点与极线的方程及性质解题

例1 解：首先，由二次曲线极线的方程可知，抛物线y2 = 4x点P（2，2）对应的极线的方程为y = x + 2，因为极线斜率与AB斜率相等，所以AB与CD平行，相当于无穷远点N，点M在直线y = x + 2上.

由极线得定义可知，M的极线为PN，即y = x，反用极线的方程求极点，设M（x0，y0），y0 = x0 + 2，且y0y - 2（x + x0） = 0就是直线y = x0，对比系数可知y0 = 2，x0 = 0，即命题成立，M为（0，2）.

例2 （2010年全国高中数学联赛加试第一题逆命题）如图，锐角三角形ABC 外心为O，K是边BC上一点（不是中点），D是线段AK延长线上一点，BD与AC交于N，CD与AB交于M，求证：若A，C，B，D四点共圆，则OK⊥MN.

解 以O为原点建立坐标系，则可设过A，B，C，D四点的圆的方程为x2 + y2 = r2，根据二次曲线极线的方程，P（x0，y0）对应的极线为x0x + y0y = r2.设点K（x0，y0），则K对应的极线就是x0x + y0y = r2，由极线的定义可知，直线MN就是K的极线，即MN：x0x + y0y = r2. 而直线OK：y0x - x0y = 0，故OK⊥MN.