初中学生数学学习中杜绝易错题的方法

唐小平

甘肃省教育科学“十二五”规划2014年度《初中学生数学易错题分析研究》课题（课题批准号：GS[2014]GHB0668）成果.

初中学生在学习过程中由于主观和客观方面的原因出现解题方面的错误是可以杜绝的.下面通过具体的例子给出杜绝初中学生数学学习中易错题的方法：

例1 等腰三角形ABC中，∠A = 70°，求∠B，∠C的度数.

错解 ∵∠A = 70°，∴∠B = ∠C = （180° - ∠A） = （180° - 70°） = 55°.

错因分析 考虑问题不全面，学生在这里误认为∠A为等腰△ABC的顶角，没有考虑∠B是等腰三角形ABC的顶角，从而导致漏解.

正解 当∠A = 70°是等腰三角形ABC的顶角时，由“三角形的内角和定理”和“等边对等角定理”有∠B = ∠C = （180° - ∠A） = （180° - 70°） = 55°；

当∠A = 70°是等腰三角形ABC的底角，而∠B是等腰△ABC的顶角时，利用“三角形的内角和定理”和“等邊对等角定理”就可以求出∠B = 180° - 2∠A = 180° - 2 × 70° = 40°，∠C = 70°；

当∠A和∠B都是等腰三角形ABC的底角时，有∠B = ∠A = 70°，此时∠C = 40°.

综上所述，∠B = ∠C = 55°或∠B = 40°，∠C = 70°或∠B = 70°，∠C = 40°.

杜绝错误的方法：对于受思维定式（或思维的片面性）的影响，考虑问题不全面，造成漏（少）解或出现增（多）解（根）而出错的题目，只要考虑问题周全（如用分类讨论的数学思想），即把几种可能性都考虑进去的话，这类错误是可以杜绝的.

例2 如果函数y = （m - 2）xm2 + m - 4是二次函数，求常数m的值.

错解 ∵ y = （m - 2）xm2 + m - 4是二次函数，

∴ m2 + m - 4 = 2，即m2 + m - 6 = 0，∴ m1 = -3，m2 = 2.

错因分析：不能正确理解二次函数的定义，即二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为零，错解中忽略了m - 2 ≠ 0的条件而产生多解.

正解 ∵ y = （m - 2）xm2 + m - 4是二次函数，

∴ m2 + m - 4 = 2，即m2 + m - 6 = 0，∴ m1 = -3，m2 = 2.

∵ m - 2 ≠ 0，∴ m ≠ 2，∴常数m的值为-3.

杜绝错误的方法：只要抓住概念的本质，正确、深刻、透彻的理解概念，搞清楚概念的内涵和外延，就可以杜绝这类错误的发生.

例3 已知x = 2 + ■，y = 2 - ■，求式子■ - ■■ - ■的值.

错解 ■ - ■■ - ■ = ■ × ■ = ■×■ = -■×■ = -■.

当x = 2 + ■，y = 2 - ■时，原式 = -■ = -■ = -■ = -■.

错因分析：不能正确运用完全公式（a±b）2 = a2±2ab + b2，即错误地认为（a±b）2 = a2±b2而出错.

正解 ■ - ■■ - ■ =

■ × ■ =

■×■ =

-■ × ■ = -■.

当x = 2 + ■，y = 2 - ■时，原式 = -■ = -■ = - ■ = -4.

杜绝错误的方法：只要记熟完全平方公式的结构特征“首平方，尾平方，首尾的2倍中间放”就可以杜绝这类错误的发生.

例4 已知（x2 + y2）2 + 2（x2 + y2） = 15，则x2 +y2 = .

错解 将原方程变形成[（x2 + y2） + 5][（x2 + y2） - 3] = 0.即（x2 + y2） + 5 = 0或（x2 + y2） - 3 = 0. 所以（x2 + y2） = -5或（x2 + y2） = 3.

错因分析 由于忽视了x2 + y2 ≥ 0这个隐含条件而出错.

正解 将原方程变形成[（x2 + y2） + 5][（x2 + y2） - 3] = 0.即（x2 + y2） + 5 = 0或（x2 + y2） - 3 = 0. 亦即（x2 + y2） = -5或（x2 + y2） = 3. 但x2 + y2 ≥ 0，故（x2 + y2） = 3.

杜绝错误的方法：对于这样的题，只要能挖掘出题目中的隐含条件或认真审题的话，这类错误是可以杜绝的.

例5 一个商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

错解 不盈不亏.

错因分析：习惯思维定式、不尊重客观事实想当然凭直觉解题，即误认为一个赢利25%，另一个亏本25%，赢和亏的百分数相同，并且每件都以60元的价格卖出，所以总的赢、亏情况一定是不赔不赚，这中间就忽略了两件衣服的进价.

正解 设盈利25%的衣服的进价为x元，亏损25%的衣服的进价为y元，则由题意知

60 - x = 25%x，解出x = 48.

y - 60 = 25%y，解出y = 80.

∴总售价 - 总进价 = 60 × 2 - （48 + 80） = -8.

∴卖这两件衣服总的是亏损8元.

杜绝错误的方法：解盈亏问题是利用售价与进价的差值来比较的，所以只要弄清这两件衣服的进价，然后用总售价减去总进价就可以杜绝这类错误的发生.

当然要杜绝初中学生在数学学习中易错题的发生，并非一朝一夕就能完成，这是一个长期的、复杂的过程，一方面需要老师的反复强调，更重要的是要靠学生自己，因为内因是变化的根据，外因是变化的条件.