《锐角三角函数》易错题分析研究

雷晓宏

甘肃省教育科学“十二五”规划2014年度《初中学生数学易错题分析研究》课题（课题批准号：GS[2014]GHB0668）成果.

《锐角三角函数》是人教版《数学》九年级下册中很重要的一章，学生在学习这一章内容时常常出现各种各样的错误.现在笔者将学生出现的各种错误归类如下：

一、对锐角三角函数概念理解不正确

1. 把△ABC的三边长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值（ ）.

A. 不变 B. 缩小为原来的

C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定

错解：C

错因分析：没有正确理解锐角三角函数的概念而出错.

正解：A

事实上，锐角三角函数值是直角三角形中边与边的比值.当直角三角形的各边都扩大（或缩小）相同的倍数时，其三角函数值保持不变.

2. 已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a，b，c且a = 24、b = 7、cosA的值.

错解：sin A = = ，cos A = .

错因分析：本题考查锐角三角函数值的求法，即概念.要把握锐角三角函数值必须在直角三角形中，一个锐角三角函数值是边与边的比值.而此题没有明确说明此三角形为何种三角形，这里想当然地去做了.

正解：∵ a = 7，b = 24，c = 25，

∴ a2 + b2 = 72 + 242 = 625 = 252 = c2.

∴ △ABC为直角三角形，且∠C = 90°，

∴ sin A = = ，cos A = = .

二、混淆特殊角的三角函數值

在△ABC中，∠A、∠B满足|tan A - 1| + cos B - 2 =0，那么∠C = .

错解 由tan A - 1 = 0与cos B - = 0及特殊角的三角函数值得∠A = 45°、∠B = 30°从而∠C = 105°.

错因分析 没有掌握特殊角的三角函数值，学生在学习时易张冠李戴，这种错误是知识性错误，没有理解特殊角的三角函数值的来龙去脉.

正解 由题意知tan A - 1 = 0且cos B - = 0，解得∠A = 45°、∠B = 30°，再利用三角形内角和定理得∠C = 180° - （∠A + ∠B） = 75°.

三、对锐角三角函数的性质理解不准确

已知锐角x满足关系式2sin2 x - 7sin x + 3 = 0，则sin x的值为（ ）.

A. B. 3 C. 或3 D. 4 错解 由题意得sin x = 或sin x = 3，选C.

错因分析：根据锐角三角函数的定义及性质，当0° ≤ x ≤ 90°时0 ≤ sin x ≤ 1，0 ≤ cos x ≤ 1、tan x ≥ 0，且正弦值和正切值随角度的增大而增大，而余弦值却随角度的增大而减小，这里没有考虑三角函数值的取值范围.

正解 ∵ x满足关系式2sin2x - 7sin x + 3 = 0，

∴ sin x = 或sin x = 3.

又∵ x为锐角，

∴ 0 < sin x < 1. 即sin x = 3不符题意，必须舍去，故选A

四、将实际问题转化为数学问题时不严密

升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为 米（用含根号的式子表示结果）.

错解 如图AB为人眼离地面的高度，在Rt△AED中∠DAE = 30°，AE = 24，由tan∠DAE = ，解得DE = 8.

即旗杆的高度为8米.

错因分析 学生犯了想当然的错误，缺乏全面考虑问题的能力，没有认真读懂题意，这里旗杆的高度应是DE与CE的和，本题应把四边形的问题转化为三角形的问题.

正解 如图，过点A做AE∥BD交CD于点E，在Rt△AED中，∠DAE = 30°、AE = 24、∠DEA = 90°，根据tan∠DAE = ，可得DE = AE + tan∠DAE = 8，

又∵ EC = AB，所以CD = DE + CE = 8+ 1.5，即旗杆的高度为（8 + 1.5）米.

当然《锐角三角函数》一章中的易错题绝非限于此，在这里就不再一一列举.