一类含有求最大运算的非线性时滞Volterra－Fredholm型积分不等式

黄春妙，王五生

一类含有求最大运算的非线性时滞Volterra－Fredholm型积分不等式

黄春妙，王五生*

(河池学院数学与统计学院，广西宜州546300)

建立一类新的含有求最大运算的非线性时滞Volterra－Fredholm型积分不等式，式中非线性函数没有要求单调性.为了给出未知函数的估计，采用单调化技巧，构造单调化序列，使得后一项比前一项具有更强的单调性.利用分析技巧，给出不等式中未知函数的估计.其结果可以用来研究相应类型的微分积分方程.

Volterra－Fredholm型积分不等式;求最大运算;迭代积分;分析技巧

Gronwall－Bellman不等式［1－2］是研究微分方程、积分方程解的存在性、有界性、稳定性、唯一性和不变流型等定性性质的重要工具.在过去几十年，数学工作者出于各种研究目的建立了大量既有用又有趣的积分不等式(参见文献［3－16］及其参考文献).

B.G.Pachpatte［3］为了研究Volterra－Fredholm型积分方程解的性质，建立了具有时滞的线性Volterra－Fredholm型积分不等式

Q.Ma等［5］研究了具有时滞的非线性Volterra－Fredholm型积分不等式A.Golev等［6］讨论了具有最大运算的初值问题

为了研究这个问题解的性质，需要建立一种具有最大运算的积分不等式作为研究它的工具.最近，J.Henderson等［7］研究了下面的具有最大运算的积分不等式

Y.Yan［8］进一步研究了下面的较为复杂的具有最大运算的积分不等式

本文受文献［5，8］的启发，讨论了一个新的具有最大运算的时滞非线性多重积分不等式

式中k、h是正常数.(4)式没有要求φi(i=1，2，3)具有单调性，为了给出未知函数的估计，文中首先采用了单调化技巧，构造单调化序列，使得后一项比前一项具有更强的单调性.即利用非单调函数φi(z)构造出单调函数wi(z)，并且w2(z)/w1(z)，w3(z)/ w1(z)，w3(z)/w2(z)也都是单调函数.然后利用变量替换技巧、不等式放大技巧、微分积分技巧、逆函数技巧、常量与变量的辩证关系，给出了不等式中未知函数的估计.最后利用不等式的研究结果给出了具有最大运算的Volterra－Fredholm时滞积分方程解的估计.

1 主要结果及其证明

约定R表示实数集合，R+=［0，+∞)，I=［t0，T］;C(M，S)和C1(M，S)分别表示定义于集合M，取值于集合S的所有连续函数的集合和所有连续可微函数的集合.α'(t)表示函数α(t)的导函数.

定理1假设fi(t)，hi(t)∈C(I，R+)，i=1，2，3.假设α∈C1(I，I)是不减函数，且满足对任意t∈I有α(t)≤t;φ、φi都是R+上的函数，φ是严格增函数，且满足φ(t)=∞，对任意t＞0，φi(t)＞0.如果是严格增函数.假设H2(u)=0在［k，∞)上有一个解c.如果u(t)满足不等式(4)，那么u(t)有估计式

其中

证明令u(t):=φ(v(t))，则v(t)=φ－1(u (t)).由(4)式推出

根据(10)～(12)式，可以看出wi(i=1，2，3)是连续、非负、单调不减函数，且满足关系式

还满足wi+1(s)/wi(s)，i=1，2也是单调不减函数，即文献［14］中定义的比较单调性

从(7)～(9)式看出函数Wi(i=1，2，3)是严格增函数，它们的逆函数存在，也是连续的增函数.由(10)～(12)和(13)式推出

令z1(t)表示不等式(15)的右端，则它是区间I上正的不减函数.由不等式(15)得到

求函数z1(t)的导函数，利用(16)式得

不等式(18)两边同除w1(z1(t))得到

先把不等式(19)中的t替换成τ，然后不等式(19)两边从t0到t进行积分，得到

T1是任意选取的，W1由(7)式定义.令z2(t)表示不等式(20)的右端，则它是区间［t0，T1］上正的不减函数.由(20)式推出

求函数z2(t)的导函数，利用(21)式和函数z2、W－11、w2/w1、w3/w1的单调性以及函数α的性质得到

不等式(23)两边同除

得到

由(24)式推出

令z3(t)表示不等式(25)的右端，则它是区间［t0，T1］上正的不减函数.由(25)式看出

求z3(t)的导数，利用(26)式得对任意t∈［t0，T1］都有

不等式(28)两边同除w3(W－11(W－12(z3(t))))/ w2(W－11(W－12(z3(t))))得

积分不等式(29)两边得

综合(21)、(26)和(30)式得到

把(22)和(27)式代入(31)式得到

由于T1是任意选择的，故由(32)式可以得到

另一方面，由(17)式和z1的定义有

由(33)和(34)式推出

即

根据H2的定义和定理1的假设，由(35)式得到

由于定理假设H2是增函数，从上式看出z1(t0)＜c.把z1(t0)＜c代入(32)式，利用关系式(16)得到所求的估计式(6).

2 应用

现在考虑时滞Volterra－Fredholm型积分方程

推论1假设β(t)∈C1(I，I)是严格增加的函数，且满足β(t)≤t.假设|x0|，h是正常数，x∈C(I，R).假设F1∈C(I×R2，R)，F2∈C(I×R，R)满足下列条件

其中，f1(s)、h1(s)、h2(s)、φ1(s)和φ2(s)满足定理1的要求.假设函数

是严格增函数，H3(t)=0有解c＞|x0|.如果x(t)是方程(36)和(37)在I上的解，那么有方程解的模的估计式

其中，W1、W2、和与1中的定义相同.

证明利用条件(38)和(39)，由方程(36)和(37)推出

由于(42)式具有不等式(4)的形式，且满足定理1中的相应条件，利用定理1就可以得到所求的方程解的模的估计式(41).

［1］GRONWALL T H.Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations［J］.Ann Math，1919，20:292－296.

［2］BELLMAN R.The stability of solutions of linear differential equations［J］.Duke Math J，1943，10:643－647.

［3］PACHPATTE B G.Explicit bound on a retarded integral inequality［J］.Math Inequal Appl，2004，7:7－11.

［4］AGARWAL R P，DENG S，ZHANG W.Generalization of a retarded Gronwall－like inequality and its applications［J］.Appl Math Comput，2005，165:599－612.

［5］MA Q，PECARIC J.Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra－Fredholm type integral inequalities［J］.Nonlinear Anal，2008，69:393－407.

［6］GOLEV A，HRISTOVA S G，RAHNEV A.An algorithm for approximate solving of differential equations with maxima［J］.Comput Math Appl，2010，60(10):2771－2778.

［7］HENDERSON J，HRISTOVA S G.Nonlinear integral inequalities involving maxima of unknown scalar functions［J］.Math Comput Model，2011，53:871－882.

［8］YAN Y.Nonlinear Gronwall－Bellman type integral inequalities with maxima［J］.Math Inequal Appl，2013，16(3):911－928.

［9］吴宇，邓圣福.一类弱奇性Volterra积分不等式的推广［J］.四川大学学报(自然科学版)，2004，41(3):472－479.

［10］吴宇.关于一类弱奇性Volterra积分不等式的注记［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2008，31(5):534－537.

［11］周俊.关于一个积分不等式组的讨论［J］.四川大学学报(自然科学版)，2009，46(1):21－25.

［12］王五生，李自尊.一类新的非线性时滞积分不等式及其应用［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(2): 180－183.

［13］侯宗毅，王五生.非线性三变量差分不等式及其应用［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2015，38(4):514－517.

［14］PINTO M.Integral inequalities of Bihari－type and applications［J］.Funkcial Ekvac，1990，33:387－430.

［15］王胜军，窦井波.Greiner算子在R2n+1上的Poincaré不等式及Hardy－Sobolev不等式［J］.广西师范大学学报(自然科学版)，2012，30(1):29－34.

［16］黄裕建.Pachpatte离散不等式的一个推广［J］.重庆师范大学学报(自然科学版)，2013，30(4):99－103.

A Class of Nonlinear Volterra-Fredholm Type Integral Inequalities with Maxima

HUANG Chunmiao，WANG Wusheng
(School of Mathematics and Statistics，Hechi College，Yizhou 546300，Guangxi)

In this paper，we establish a new nonlinear retarded Volterra-Fredholm type integral inequality with maxima and we don’t require monotonicity of nonlinear functions.We monotonize those functions to make a sequence of functions in which each possesses stronger monotonicity than previous one so as to give an estimation for the unknown function.By adopting novel analysis techniques，the upper bounds of the embedded unknown functions are estimated explicitly.The derived results can be applied in the study of solutions of ordinary differential equations and integral equations.

Volterra-Fredholm type integral inequality;maxima;iterated integrals;analysis technique

O175.5

A

1001－8395(2016)03－0382－06

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.015

(编辑周俊)

2015－12－09

国家自然科学基金(11561019和11161018)、广西自然科学基金(2012GXNSFAA053009)和广西高等学校科研项目(KY2015ZD103和KY2015LX341)

*通信作者简介:王五生(1960—)，男，教授，主要从事微分方程及积分不等式的研究，E－mail:wang4896@126.com

2010 MSC:26D15;26D20;34A40