探秘丢番图

时杰

【摘要】本文从丢番图的生平事迹、墓志铭、著作等方面对丢番图进行了介绍，重点介绍了《算术》和丢番图方程，以期读者对“代数学之父”有所了解，并激发读者对代数学的兴趣，进而投身对代数学的研究.

【关键词】丢番图；代数学；《算术》；丢番图方程

一、丢番图的生平事迹

丢番图是希腊数学家，关于丢番图的生平，人们知道得很少，但是可以肯定，丢番图在二次方程式有杰出的贡献，并将希腊人已完成的代数成果加以汇集编目，被誉为代数学的鼻祖.希腊数学自毕达哥拉斯学派后，数学的重心就在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的.为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣.一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中.直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊.他认为代数方法比几何的演绎陈述更适合于解决问题，而且在解题的过程中展示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜.他被后人认为“代数学之父”实至名归.

二、丢番图墓志铭

在《希腊诗文选》中，收录了一个特别有趣的丢番图墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.

用这样的方式记载了他享年的秘密，这相当于一元一次方程：1[]6x+1[]12x+1[]7x+1[]2x+4=x，x=84.由此知他享年84岁.

从墓志铭中也看出，研究数学需要能吃苦，能忍受寂寞，也正是丢番图将丧子之痛化为研究数论的力量，才有了如此巨大的贡献.

三、巨著《算术》

希腊时代“算术”一词，主要指“数的理论”，即相当于现在的“数论”.而数字的加减乘除等运算则叫做“计算的技巧”，两者有明显的区别.这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代，如高斯的数论名著就叫做《算术研究》.

他的《算术》是一部巨著，它在历史上影响之大，对后来数论学者有很深的影响，可媲美欧几里得的《几何原本》.《算术》研究数论，讨论一次、二次以及个别的三次方程，还有一些不定方程，对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程被称为丢番图方程，它是数论的一个分支，不过丢番图并不求解整数解，而只要求是正有理数解.

从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围.代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数.

《算术》也有未知数，这未知数一般就是问题的答案，一切运算只允许对已知数来施行.在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表示它.从引入未知数，创设未知数符号以及建立方程的思想这几方面来看，丢番图《算术》完全可以算得上是代数.当时代数学没有专门的名称，algebra是9世纪花拉子米以后才出现的名词，而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受.在《算术》中，丢番图采用了一套数学符号来表示未知量，他也是首位用符号来表示幂的数学家.丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的.

丢番图《算术》中最有名的一个问题是第2卷问题8，丢番图的表述是：

将一个已知的平方数分为两个平方数.

用现代符号表述这个问题就是：已知平方数Z2，求数x和y，使得x2+y2=Z2.在丢番图的著作里，所有的数都是指正有理数.

丢番图以Z2=16为例来说明他的解法.他先设第一个平方数为x2，则另一个是16-x2，所以问题变成要求16-x2是平方数y2.设y=mx-4，m是某一整数，例如m=2，于是有16-x2=4x2-16x+16，解得x=16[]5，12[]5.当然这个方程还有其他解，可惜的是丢番图只写出一组解.

这个问题有名是因为17世纪法国数学家费马在阅读拉丁文本《算术》时对该问题所作的一个边注，引出了后来举世闻名的“费马大定理”，这也说明丢番图这部著作对后世的影响.

当然《算术》以问题集的形式收录题目，却没有分类标准，基本上是一题一解法，使人眼花缭乱，于是有人说：研究了丢番图的一百道题以后，还不知道怎样去解第一百零一道题.丢番图没有着力去探求一般性的解法，或去研究多种解法之间的内在联系，这是《算术》的最大缺点.

四、丢番图方程

如前問所述，丢番图方程是具有整系数的且只考虑整数解的不定方程.在丢番图方程中，各种形式的不定方程是无穷无尽的，但解决问题的方法，从古至今都是不同的问题用不同的方法，其中显示了人类高度的智慧.人们自然要问，是否存在一个一般的解不定方程的方法？这个问题的特殊情形是属于D.Hilbert第十问题的，这个问题的一般回答是否定的.D.Hilbert第十问题比较复杂，有兴趣的读者可以查阅文献.

解丢番图方程由于没有一个一般的方法，因而它向人类的智慧提出了挑战.有一些看上去简单的方程，但解决起来却是相当困难，例如求不定方程

1+x2=2y4的正整数解x，问题.

通常，解一个丢番图方程很大程度上由人们的数学基础和研究经验决定.这常常导致初学者望而生畏.但也有些初学者不了解丢番图方程的内容，以为丢番图方程是从属于初等数论的，就是初等数论中的几个小玩意儿，因此，许多初学者在不具备一定数学基础的同时，就不切实际地去试图证明Fermat大定理.

人们为了解决一些很难的丢番图方程，创立了许多数学方法，例如代数数论方法，padic方法和丢番图逼近方法等，这些方法大大丰富了数论的内容，同时也为我们求解更广泛地丢番图方程提供了有力的工具.