形成性评价的螺旋模式：内涵、脉路及特征
——以奇偶函数的教学为例

湖北省武汉市华中师范大学　　孙成成　　胡典顺　　(邮编：430079)



形成性评价的螺旋模式：内涵、脉路及特征
——以奇偶函数的教学为例

湖北省武汉市华中师范大学孙成成胡典顺(邮编：430079)

现代数学教学不仅注重学生的数学学习水平和学习结果，还强调他们的学习过程以及在数学活动中所表现出来的情感、态度和价值，让他们更好地认识自我，建立信心，实现全面发展.教育评价中以完善教师教学活动和改进学生学习活动为目标的形成性评价可以为这些任务的完成提供最有利的条件.中学数学知识在不同的学习阶段会反复出现，例如函数、概率、不等式、数列等，这是知识的一种螺旋上升模式，也意味着学生的数学能力及情感态度也是顺着知识的循环增长而螺旋上升的.所以如何在这一螺旋上升过程中把握好对学生的评价，如何将螺旋模式融入形成性评价活动中去是教师值得深思的问题.

1内涵

形成性评价是在教学过程中对学生的知识掌握和能力发展的及时评价，它是教学活动中持续收集信息和证据并对学习提供反馈的一个系统过程.无论何时、何地、何种方式、何种程度，只要所收集的信息和证据能够满足学生的需要，改进教师的教和学生的学，那么它就是形成性评价.形成性评价注重整个教与学过程，它强调通过多种渠道来收集、了解、分析和掌握学生的需求.形成性评价也是一种双向的过程，可以让教师及时获得反馈信息，从而使他们可以不断地更新和改进自己的教学手段以及教学过程，以便于因材施教、因势利导.同时，它也可以让学生及时获得反馈，让他们更充分认识到自己的优势与不足，以便于提升学生的数学素养，发挥学生的自主意识，引导学生进行自我监控，提高学生的自我效能感，挖掘学生的创造潜能，促使每一位学生的才智和能力都能得到最大程度的发挥.

数学活动过程并不是直线上升的，它是一种螺旋曲线的上升过程.这就意味着数学教学的过程中一些教学方法、学习方法以及评价方法走的是循环反复，不断上升的路子.例如，课堂教学中，教师与学生之间的交流互动就是一种“教师→学生→教师→学生→……”不断教授与回馈的模式.毕渔民和王玉文提出了五环综合数学活动教学形式，将“阅读自学、述说评价、启发讲授、变式练习和问题”5个环节构成由“读数学、说数学、讲数学、练数学、问数学”5项数学活动构成的环环相扣的综合数学活动.每一项数学活动的落实都会导致学生的某些变化，学生在一日、一周、一个单元甚至一个学期结束时，在数学知识、数学思维、数学直觉以及数学情感等方面都应该不同于这些周期开始时的水平.那么整个数学活动过程中的每个阶段究竟有没有达到预想的效果？教与学有没有得到实质性的提高？要想弄清这些疑问，那么就必然要求注重活动过程的形成性评价也要拥有一套螺旋形式与之相辅相成.据此可以知道形成性评价中的螺旋模式就是以改进教师的教、促进学生的学和辅助教学活动的循环上升为目的而进行的一种分层次的、重复出现的、分段循环的、逐步扩展和螺旋上升的评价模式.具体而言就是在数学活动过程中，如果学生尚未达到预期目标，教师可以进行二次评价；如果学生达到预期的目标，教师就可以引导学生进入新的领域，并继续在形成性评价提供的证据下进行教学.所以螺旋模式可以真正地实现教师主导、学生主体的位置关系，并能有效地利用学生资源，它能在充分建构数学思维的基础上实现“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标.

2脉路

2.1预想

在数学知识教学之前，教师要对班级学生进行一次概括性和预测性评估.这种评估可以按照学生的成绩、性格等标准进行层次性划分，再对学生的能力和情感进行预测.在预想中，我们常用到的评价方法有问题录，让学生把自己在预习课程中所遇到的疑问写在问题录上，教师通过浏览和研究学生的疑问而掌握全班学生的不足之处，作出更具确实性的评估进而把握整个课堂教学模式.

教学案例1进行奇偶函数教学前，教师可以设计一份“学习预测表”(如表1)，对学生的课堂表现进行提前预估.

表1　学习预测表

2.2即时

即时是教师在学生进行某项任务时或完成某项任务后即刻作出的评价.在即时给出评价的过程中教师需要熟练掌握观察法、交谈法及练习法，并将这三者有效地串联起来，融会贯通.

教学案例2奇函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数.奇函数的定义比较抽象，教师可以通过f(x)=x3的图象，让学生探讨f(-1)与f(1)，f(-2)与f(2)，f(-3)与f(3)的关系，再进一步思考f(-x)与f(x)的关系，最后总结出规律并得出奇函数的定义.在这一过程中教师运用问答形式引起学生的思维和情感反应，与此同时教师要细致观察学生的言语是否流畅得体、行为是否积极、面部表情是否充满疑惑等来判断学生对奇函数的把握度以及对数学图形认知度，做出对教与学的准确评价.

2.3延时

延时可分为短时性延时和长时性延时.深刻的思考需要时间，而短时性延时是要求教师在提问之后，推迟判断，不要着急找学生回答问题，要给予学生充分而全面的思考时间.但是这种空出的思考时间是相对较短的，它占据一节课的小部分时间.而长时性延时是在若干个知识点沉淀之后而进行评价，它所经历的时间较长可能是一天、一周甚至一个月.延时中常用到的方法有观察法、练习法和“每周一再”等.

教学案例3判断下列哪些函数是奇函数，哪些是偶函数？

评析判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再与f(x)比较可知①④为奇函数，③不是偶函数，②既是奇函数又是偶函数.本题第①题较为简单，大部分学生是可以很快独立解决的，对于第②、③两题学生常常会忽略定义域的关系而做出错误的解答，这是需要学生注意的，第④题稍微复杂，教师这时就应当留给学生充足的思考空间，让学生进行深刻的思考，再逐步引出正确的思维方式进行解答.这四道题目具有比较典型的代表性，教师可以在下一次课进行二次回顾，为保障学生熟练掌握可以采用“每周一再”方式周期性回顾这些题型以巩固学生的知识框架.

2.4整合

整合是一个小的学习阶段后通过考察学生对所学知识的掌握程度、观察学生现阶段学习的情感态度以及对比学习前后的成果而作出的评价.它不同于终结性评价，整合中的评价不以考试结果为评价标准，它更突出的是某一学习阶段学生在学习能力与情感双方面的发展.档案袋、练习和小测验、自我评价等是整合过程中常用的方法.

教学案例4函数y=f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0,+)时是增函数，若f(1)=0，求不等式的解集.

评析这是一道结合函数定义域、单调性和奇偶性的综合运用的题目，这种题型考查了现阶段学生是否具有将函数单调性与奇偶性整合使用的能力，教师通过若干类似的题型来评判学生是否已达到学习要求，进而改进教学.

以上所提到的四个步骤是相互联系、相互沟通、相互贯穿的，如进行整合时需要延时的推动，即时为延时的进行提供反馈信息，预期可以和整合相结合等等.四项步骤串联起来并在数学活动过程中有效地实行之后，教师和学生都会达到一个更高更新的层次，在这种新层次下又会继续进行着形成性评价，循环反复，螺旋上升(如图1).

图1　形成性评价螺旋模式图

3特征

3.1境域性

境域性是指：任何的知识都存在于一定的时间、空间、理论范式、价值体系、语言符号等文化因素之中的.任何知识的意义也不仅是由其本身的陈述来表达的，而且更是由其所位于的整个意义系统来表达的.离开了这种特定的境域，既不存在任何的知识，也不存在任何的认识主体和认识行为.而数学境域是含有一定数学知识、数学思想和数学方法的一种情境，它是数学知识产生的理论和实际背景，它在激发数学认知冲突的同时也为解决冲突提供了相应的信息和依据，所以数学活动过程离不开情境.这就必然要求形成性评价要在特定的数学情境中进行，那么形成性评价相对应的螺旋模式也是需要在某种数学情境中展开.如果失去了特定的情境，就很难判断某个学生的数学思维、数学能力、数学情感的发展程度.例如，通过建立生活情境“以每小时40千米匀速行驶的汽车所驶过的路程和时间的关系”等引入函数概念，通过建立问题情境“ 初中学过哪些函数的表示方法？它们各自有什么特点？”介绍函数的三种表示方法，通过建立学科情境“一个细胞经过分裂变成2个细胞，经过二次分裂变成4个，…，经过n次分裂变成多少个？”引入对数.实际上，不论是从学习集合概念到函数基本性质，还是从基本初等函数到函数应用，整个过程都是在秉持循序渐进，螺旋上升原则的基础上，紧密与数学情境相联系着的.

3.2内隐性

内隐性是在相对安静的情况下不易被发现的特性.从整个活动过程去看螺旋线，它是上升的，但是在从某一阶段去看，其上升趋势并不是太过明显，不少学生数学价值观、数学能力往往隐藏在形成性评价中的螺旋模式里，不易被学生自己甚至是教师发现，这需要教师的耐心挖掘.人总是处于与他人或环境不断相互作用过程中，个人的成长需要通过其行为表现出来.同样，评价学生的数学思想方法是需要看学生在现实情境中表现出来的行为特征或数学行为.也就是说，一个学习有所改进的学生，在其现实中表现为具有数学素养的特征；一个能力有所改进的学生，也是在完成一定的数学任务时才能充分显现出来.通过观察一个人在数学情境中的行为及反映可以发现其数学能力和数学情感是否在一点点地螺旋提升.

图2　函数归纳拓展图

另一方面，螺旋模式在知识层面上也具有内隐性.一些数学知识在层次上并没有明显的上升趋势，像概念的内涵、外延，概念的分类，判断，判断的分类，三段论的格与式，逻辑量词，命题演算等，这些纯粹逻辑的知识也不会直接展示在数学教材中，然而又蕴含在教学内容中.但是随着学生年龄的增长以及能力的提升，课标在能力层面上的要求有明显的变化，从“了解”和“感受”到“会”，可以说这是一个悄无声息的飞跃.例如，对函数基本性质进行归纳拓展(如图2)，从归纳拓展图中可以看出函数各知识点之间的联系，但是却看不出学生在学习函数的这一过程中对奇偶函数的掌握究竟达到何种程度.这种情况下教师就需要通过具有层次性、多样性、延伸性和代表性的练习、小测验或表现性任务来发现学生的优与劣，并作出及时的评价.

3.3生成性

“生成”强调的是事物运动变化过程.螺旋模式是一个动态的师生共同学习、共同构建的过程，它并不是预先设定好的，它在形成性评价中的展开形式并不是固定不变的.数学活动注重学生发散思维的培养，鼓励学生对数学思路、数学方法和数学结论质疑，而学生的质疑往往会超出教师的预想，这时候教师须根据学生的需要进行判断，不断地调整教学活动，以促进学生更加有效地学习.数学教学活动实质上是一个数学思维过程，数学思维能力是可以在教学活动中形成和

发展起来的.故而形成性评价中的螺旋模式也是在数学活动过程中不断发展、不断完善的.

3.4多样性

数学本身就是一种人类活动，反映人的信念、意向、行为准则和思维方式.在数学活动过程中，每位学生都是独立的个体，即使对待同一数学问题，不同的学生也会生成不同的体验、感悟和反思.又由于评价对象自身的复杂性，单一的螺旋曲线难以形成恰如其分的评价结论，同时学生的数学知识、数学思维、数学情感及数学技能等都不可能以相同的幅度上升，这就决定每位学生在不同数学认知层面都具有其独特的螺旋上升曲线.如学生在学习奇偶函数的过程中，对奇偶函数概念和图象等知识点的记忆、利用函数奇偶性解题的速度、函数奇偶性的知识迁移能力、对奇偶函数学习的态度和情感等都会呈现出不同的上升趋势，这需要教师进行细致地分析，从而对症下药.

总之，形成性评价中的螺旋模式是由各个小阶段构成的大过程，它对优化中学数学教学效果起着举足轻重的作用，它能让学生明白数学知识是不断向着更具严谨性的方向发展的、数学思维是不断地向着更具抽象性和理性的方向发展的、数学价值观是不断地向着更具积极性和意义性的方向发展的、数学美是不断地向着更具和谐性的方向发展的.因此，教师要把握好螺旋模式在形成性评价中的各个环节，深入研究分析螺旋模式的特征，构建出一个高效、科学的数学评价体系.

参考文献

1毕渔民，王玉文．构建五环综合数学活动教学形式的探索与实践[J]．数学教育学报， 2015，24(2)

2石中英．教育哲学[M]．北京：北京师范大学出版社，2007

3喻平．论内隐性数学课程资源[J]．中国教育学刊，2013(7)

4卢志强．重视课堂教学设计，培养数学思维品质[J]．中学数学，2012(15)

基金项目:全国教育科学规划教育部重点课题——TPACK视角下卓越教师培养的理论研究与实践探索(课题编号DHA150287)．

(收稿日期：2016-02-20)