复合函数零点个数的探究

安徽省灵璧中学　　王　跃　　(邮编：234200)



复合函数零点个数的探究

安徽省灵璧中学王跃(邮编：234200)

摘要函数的零点是高中函数知识模块中占有及其重要的地位. 复合函数零点个数的判断是高考的热点、难点.在分析解题思路、探究解题方法中发挥着重要作用，它把函数与方程紧密地联系在一起，是函数的一个非常重要的特性.

关键词复合函数；零点；方程

复合函数的零点问题是高考、模拟及调研考试中的热点问题之一.复合函数涉及内外两层函数是学生的一个难点，也是考查的重点.考查方式多以选择题、填空题的形式出现，可以说是小题中的大题，大多作为小题的把关、压轴.这类问题往往涵盖函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归四种数学思想，所以复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强、难度大等特点，对考生的思维能力、运算能力和应变能力都有很高的要求.

1预备知识

一般地，对于函数y=f(x),我们把方程f(x)=0的实数根x叫做函数y=f(x)的零点.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即方程f(x)=0有实数根⟺函数y=f(x)有零点⟺函数的图象与x轴有交点.

证明因为xi是方程f(x)=0的根，所以f(xi)=0； 设l1、l2、…、lni为方程g(x)=xi的不同的实数根，所以g(l1)=g(l2)=…=g(lni)=xi,所以l1、l2、…、lni也为方程f[g(x)]=0不同的实数根，即l1、l2、…、lni为y=f[g(x)]的零点.故函数y=f[g(x)]的零点共有(n1+n2…+nm)个.

上面的两个命题，为解决复合方程零点问题提供方便.对于复合函数零点问题，只需研究外函数和内函数的不同根的情况即可，也可以用上述命题讨论复合函数中参数的范围.下面通过运用上述命题，来解决复合函数类型的题目.

2典型解析

类型一y=f[f(x)]型

例1设函数f(x)=x3-3x,h(x)=f[f(x)]-c,其中c∈[-2,2],试讨论函数y=h(x)的零点个数.

分析欲讨论函数h(x)=f[f(x)]-c的零点，先考虑方程f(t)=c的不同实根ti(i∈N+),然后考虑方程f(x)=ti的根.

解令f(x)=t,考虑方程f(t)=c.

(1)当c=-2时，方程f(t)=c有2个不相等的实根t1、t2(t1=-2,t2=1),方程f(x)=t1有2个不相等的实根，f(x)=t2有3个不相等的实根. 根据命题1，故函数y=h(x)的零点个数为5.

(2)当c=2时，方程f(t)=c有2个不相等的实根t3、t4(t3=-1,t4=2),方程f(x)=t3有3个不相等的实根，f(x)=t4有2个不相等的实根. 根据命题1，故函数y=h(x)的零点个数为5.

(3)当-2

综上所述：(1)当c=2或c=-2时，函数y=h(x)的零点个数均为5；

(2)当-2

方法归纳对于y=f[f(x)]型的零点个数问题的研究，令f(x)=t,先转化为求f(t)=0的不同实数根ti(i∈N+),再求f(x)=ti(i∈N+)的根的情况即可.

类型二y=f[g(x)]型

A.(2,8]B.(2,9]

C. (8,9]D. (8,9)

分析令x2+x=t,先讨论f(t)=a不同的实根ti(i∈N+)情况，再研究x2+x=ti根.

解令x2+x=t.

方程x2+2x=t2无解，x2+2x=t3有2个不相等的实根.根据命题2，故f(x2+2x)=a有2个不相等的实根；

(4)当a=8时，方程f(t)=a有3个不相等的实根t7、t8、t9(t7=-1,01).方程x2+2x=t7有1个实根，x2+2x=t8有2个不相等的实根,x2+2x=t9有2个不相等的实根. 根据命题2，故f(x2+2x)=a有5个不相等的实根；

(5)当81)；方程x2+2x=t10有2个不相等的实根，x2+2x=t11有2个不相等的实根,x2+2x=t12有2个不相等的实根. 根据命题2，故f(x2+2x)=a有6个不相等的实根.

(6)当a>9时，方程f(t)=a有2个不相等的实根t13、t14(01)方程x2+2x=t13有2个不相等的实根，x2+2x=t14有2个不相等的实根. 根据命题2，故f(x2+2x)=a有4个不相等的实根.

综上所述：当8

方法归纳对于y=f[g(x)]型的零点问题的研究，令g(x)=t,先讨论f(t)=0不同的实根ti(i∈N+)情况，再研究g(x)=ti根的情况即可.

方程与函数的理论是高中新教材中新增的知识点，从近几年高考的趋势来看，十分注重复合函数零点的考查，它对于培养学生多角度思考问题，提高学生综合能力有着非常重要的意义.

参考文献

1肖桂中.高考函数考查的新亮点——零点.数学通讯，2011(11、12)

2林光来.方程的根与函数零点的教学设计.高中数学教与学，2008(11)

3邓亚妮.浅谈函数零点的求解与应用.中学数学，2008(09)

4傅建红.一类悄然升温的“嵌套函数”零点相关问题例谈.中学数学研究，2013(12)

(收稿日期：2016-02-12)