法之不同　品有所异

河北省丰宁满族自治县第三中学　　吕振杰　　(邮编：068050)



解题

法之不同品有所异

河北省丰宁满族自治县第三中学吕振杰(邮编：068050)

解题是数学学习中最主要的活动.波利亚说过：数学就是解题，并提出问题.然而对于同一个问题，采取不同的策略处理，往往获得不同的数学训练效能，展示不同的思维精彩.教学、复习中，如何实现“法之不同，品有所异”的效果,应该成为教师教学的追求和境界.下面以题目：“若关于x的不等式acos2x+cosx≥-1恒成立，求实数a的取值范围”为例，进行阐释.

1通法万能 培养习惯

通法是一切方法的基础，高考一般是在通法、基本方法上进行考查，没有通法的熟练，就不会有巧法和妙法的悟道，更不可能有奇法的奇思妙解.一些重要的通法，学生应该牢固掌握，让通法成为解题的“利器”.

对于这个题目，观察题目中有cos2x和cosx,想到它们之间的关系是cos2x=2cos2x-1.这样原来的不等式变为a(2cos2x-1)+cosx+1≥0,就出现了“二次函数”的类型.设cosx=t,则变为：2at2+t-a+1≥0,其中-1≤t≤1.这样问题就变为当-1≤t≤1时，不等式2at2+t-a+1≥0恒成立，求a的取值范围.

记f(t)=2at2+t-a+1,其中-1≤t≤1.

(1)当a=0时，函数f(t)=t+1是一次函数，因为-1≤t≤1,所以f(t)=t+1≥0显然成立.

上述解法尽管过程冗长，却是解题的通法，是一般学生都应该会的解法，这种方法的价值，在于思维起步较低，容易上手，而解题过程中用到分类、数形结合的思想方法是必须要求学生掌握的，也是教学中必须加以强化和训练的，要时时注重与高考考法接轨.而在解题过程中较大运算量，正是要解决目前学生计算能力偏低的问题，现在学生有一个通病就是一看就会，一做就错，眼高手低，而这样的解题训练就是要培养学生的耐心和解题毅力，这一品质习惯的形成是高考解决解析几何题必须具备的素养，平时教学中要通过系统的训练培养学生通法上手，咬定解题不放松的品质.绝不能在奇、特、巧上过分追求，梳理出各部分知识结构中的通法、基本和根本的方法.

故an=3+2(n-1)=2n+1 .

2巧法简洁培养优化

训练学生的解题的简洁性，迅速性，缩短学生解题时间，优化解题路径，是数学教学的重要任务.解题中通法解答后，应该引导学生再思考，还有巧法吗？也就是我们经常说的一题多解，而这里追求的多法，要聚焦到“巧”上.巧法的关键在于对问题的变通——巧变形、巧构图、巧迁移，关键思维点的启动以及数学知识的迁移和重构.

上述题目如果训练到此结束，未免有些遗憾，鼓励学生展开自己的思考力，探究一下其妙法，少费时、伤神.因为 acos2x+cosx≥-1⟺a(2cos2x-1)≥-1-cosx,而-2≤-1-cosx≤0,因为对于任意 x∈R,a(2cos2x-1)≥-1-cosx恒成立.

(1)当2cos2x-1≥0,要使a(2cos2x-1)≥-1-cosx恒成立，必须使a≥0.

例2(2014年四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角，等于c与b的夹角，则m等于()

A.-2B.-1C.1D.2

解答本题用纯代数法可以解答，但是计算较为繁琐.

3奇法制胜培养创新

出奇制胜，秒杀难题，于数学天地间驰骋，于解题突围中求创新，这就是数学更高、更远、更强的奥林匹克精神.这样坚持有助于培养学生创新意识和创新能力.而奇法、妙法的生成不是一蹴而就，需要不断的积累，且具有批判意识和挑战意识，最后才能融会贯通知识.“奇法”的关键在于突破固有思维模式的禁锢，在一般中找特点，在抽象中寻直观，在看似不相关中建相关，不走模式化思维.

对于本题，因为“关于x的不等式acos2x+cosx≥-1恒成立”，也就是a(2cos2x-1)≥-1-cosx恒成立.

(1)因为任意x不等式成立，所以令cosx+1=0,得到a≥0.

本题解法有三奇：奇在特值的应用；奇在变量换元为非负数；奇在变换成等价形式后，用基本不等式.

解答本题用代数法完成几乎不可能，

用构造法可以出奇制胜.

下面构造图形求解.

(收稿日期：2016-02-27)

方法