一道高考题解法的源头、反思与推广

安徽省合肥市第一中学　　刁海宝　　(邮编：230601)安徽省灵璧中学　　　　　侯立刚　　(邮编：234200)



一道高考题解法的源头、反思与推广

安徽省合肥市第一中学刁海宝(邮编：230601)安徽省灵璧中学侯立刚(邮编：234200)

1提出问题

2解法源头

Q(a,b)=(y1-a-bx1)2+(y2-a-bx2)2+…+(yn-a-bxn)2=(a+bx1-y1)2+(a+bx2-y2)2+…+(a+bxn-yn)2

这就给出了解决此类问题的一种方法：配成两个完全平方式的和再加上一个常数的形式.

3解法反思

评注对于x2、y2项系数相同的二元二次式，都可以通过这个代换消去乘积项xy,从而使问题简化．

当且仅当x-1=0且y-2=0,即x0=1,y0=2时等号成立，此时t=±1.

评注这种解法构造空间向量基底，使向量b用基底表示，把问题转化成求二元二次函数的最小值．

评注这种线性代换具有一般性，可用待定系数法消去乘积项．

4解法推广

对于形如F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f (a、b、c不同时为0)的二元二次函数的最值问题，在高等数学中已经有完美的结论，而在中学阶段，若用求偏导数的方法求这类函数的最值，学生是不能接受的．以下用初等数学的方法——换元、配方法予以推广．

设x=t+my,则

F(x,y)=h(t,y)=a(t+my)2+b(t+my)y+cy2+d(t+my)+ey+f

=at2+(2ma+b)ty+(am2+bm+c)y2+dt+(md+e)y+f.令2ma+b=0.

(1)若a=0则b=0.此时h(t,y)=cy2+dt+(md+e)y+f,只有在c≠0且d=0的条件下才有最值；

当且仅当2ea-bd=0时，h(t,y)=at2+dt+f可以取得最值．

当a>0时F(x,y)取得最小值，当a<0时F(x,y)取得最大值．

若a>0且4ac-b2<0或者a<0且4ac-b2>0,则h(t,y)不存在最大值．

这样便得到一个定理：

定理对于函数F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f (a,b,c不同时为0)

(2)若a≠0,则(i)当4ac-b2=0时，当且仅当2ea-bd=0时，对于满足2ax-2amy+d=0每个实数对(x,y)均可以使F(x,y)可以取得最值：当a>0时F(x,y)取得最小值，当a<0时F(x,y)取得最大值．

(ii)当4ac-b2≠0时，

若a>0且4ac-b2<0或者a<0且4ac-b2>0,则F(x,y)不存在最值．

参考文献

1薛金星.2015年全国及各省市高考试题全解·数学卷.西安：陕西人民教育出版社，2015

(收稿日期：2016-02-26)