浅析类比思想在数学解题中的应用

米思荣

（湖南师范大学附属中学 湖南长沙 410000）

浅析类比思想在数学解题中的应用

米思荣

（湖南师范大学附属中学 湖南长沙 410000）

类比思维能够培养创新性思维能力，其具有较强的探索、预测效用。对于数学题目的解答，通过运用类比思想，不仅能够突出问题的本质，还可提升学习质量，增强我们认识问题与解决问题的能力。对此，本文首先分析了类比与类比思想的相关内容，其次对类比思想在数学解题中的应用进行了相应的阐述。

类比思想；数学；题目；应用

1 引言

当两个对象或是两类事物的某些属性相同或是相似时，猜想这两者的另一些属性也有可能相同或是相似的思考方式即为类比。目前，类比在数学中有较为广泛的应用，例如数与式之间、平面与立体之间、一维与多维之间、相等与不等之间、有限与无限之间等，均能够运用类比思想。对此，为了促进其在数学中的更好运用，有必要对类比思想在数学解题中的应用进行深入的分析研究。

2 类比级类比思想分析

2.1 类比

2.1.1 类比的定义

所谓类比，即为由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，所以，如果要确认其猜想的正确性，必须经过严格的逻辑论证。

2.1.2 类比的分类

类比的本质在于对象间的相似性，而相似对象具备诸多属性，这些属性之间又存在各式各样的关系，人们认识这些关系的过程，是从简单到复杂的过程。随着对这些关系认识的不断深化，人们所运用的类比方法也就出现了不同的类型。

（1）质料类比

所谓质料类比，即为根据类比物的性质与应当给予解释的系统性质间的类似性所进行的类比。质料类比是类比方法中比较简单的类型，这种类比仅以类比物与应予解释的系统两者的性质相似为依据，较肤浅，且还没有确定各相似性质之间的必然性联系，这使得其类推所得的结论具有很大的偶然性。为了更加深入的认识对象，大多数科学人员均需要从对象的属性之间找到必然性的联系，发现规律性的东西，以进一步提升类比的水平，从而提高推理结论的可靠性。依据因果关系进行类比便可实现此目的，推动了类比向新的类型发展。

（2）形式类比

所谓形式类比，即为根据类比物与应当给予解释的系统两个领域的因果关系或是规律性相似而进行的类比，例如声音与光的纵向关系的类比。此外，由于形式类比是以相似的因果关系成规律性为依据的，这大大提升了此种类比结论的可靠性程度。

（3）综合类比

所谓综合类比，即为应用综合法建立数学模型，然后再根据数学模型间的相似性进行的类比。例如仿生学中设计模拟生物器官的技术装置，都是应用综合类比的成果，其主要以数学模型的相似性为根据。

2.1.3 类比在数学中的价值

（1）可激发学生学习的兴趣

通过类比，能够探索出更多新的知识与方法，寻求不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测推力，从一个已知的领域去探索另外一个领域，可极大的激发我们的兴趣，更加主动的探索、研究新的知识。

（2）可提升学生的数学思维能力

当我们学生遇到一个陌生的问题时，由于自身的类比思想，会联想一个在形式或者是方法上较为熟悉的问题进行类比，发现其内在联系，沟通知识与知识、方法与方法之间的联系，激活学生的思维，从而提升学生的思维能力。

2.2 类比思维

2.2.1 类比思维的定义

类比思维是解答化学竞赛题目的基本方法，对于类比思维，其主要涉及以下两方面的含义：①联想，主要指由新信息引起的对已有知识的回忆。②类比，在新、旧信息间找相似和相异的地方，即异中求同或同中求异，通过类比思维，在类比中联想，从而升华思维，既有模仿又有创新。

2.2.2 类比思维的原理

类比是一种十分重要的思维方法与推理方法，在数学发展过程中具有至关重要的作用，在数学题目解答中，应对其进行认真的审视与对待。其基本模式为：若 A 对象具有属性 a、b、c、d，且 B 对象具有属性 a、b、c，猜想：B对象具有属性d。类比推理的过程，是从特殊到特殊，由此及彼的过程，可谓“他山之石，可以攻玉”。从两个或两类对象具有某些相似或相同的属性事实出发，推出其中一个对象可能是有另一个或另一类对象已经具有的其他属性的思维方法。该方法是古今中外许多知名人士最常运用的一种解决问题的方法，由这种方法所得出的结论，不一定具有较高的可靠性与精确度，但富有创造性，往往能将人们带入完全陌生的领域，并且还能够给予许多启发。

3 类比思想在数学解题中的应用

3.1 数列中的类比

在数学学习中，我们应对习题进行充分的类比、联想、想象，激发自身的创造热情与探索欲望，例如和—积、差—商、算数平均数-几何平均数的类比等。

在等差数列{an}中，如果a10=0，

则等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+）成立；

类比上述性质，在等差数列{bn}中，如果b9=1，则等式_______成立。

3.2 几何中的类比

3.2.1 平面到空间的类比

例如：在平面几何中，由勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2。”拓展至空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论为：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则_______。”

分析：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系：点—线、线—面、面—体（圆—球、三角形—四面体、平行四边形—平行六面体、二面角—平面角）、平面向量—空间向量等。

3.2.2 解析几何中的类比

圆锥曲线包括圆在内都是平面截圆锥所得的曲线形式，从定义、方程推导、性质到题型、方法都存在共性，通过类比，降低解题难度，使类比思维方法潜移默化地渗透到我们学生的日常学习中。

例如：在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P（x0，y0），则过此点的圆的切线方程为x0x+y0y=r2，而在椭圆中，当离心率 e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆.类比圆的面积公式，在椭圆中，S椭_______。类比过圆上一点P（x0，y0）的圆的切线方程，则过椭圆上一点 P（x1，y1）的椭圆的切线方程为_______。

3.3 定义、运算中的类比

数学教育家波利亚说过：“类比就是一种相似。”将两个数学对象进行比较，找出两者相似的地方，然后加以应用，类比思维常用于概念、性质方面数学题目的解答。

解析本题可采用“方法类比”。由于等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，通过经类比可得出以下结论：

4 结语

综上所述，类比是数学发现与创造的一种思维方式，尤其是在已知事物的性质推广到类似事物方面，其具备非常重要的作用。在数学发展历程中，类比发挥了较为关键的作用。在数学习题解答中，通过恰当的运用类比方法，可在轻松愉快的环境中学习数学，使得学习由被动变为主动。此外，对类比得出的结果进行分析论证，去伪存真，还有助于培养学生自身的创新意识。

[1]梁根明.以2009年高考一题为例谈类比思想在数学解题中的应用[J].数学学习与研究，2014（11）：84～85.

[2]韩锴.高中数学教学中类比思想的价值探究[J].中学生数理化：教与学，2014（09）：12～13.

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1004-7344（2016）32-0047-02

2016-10-26