集合学习漫谈

王波

(淮安工业中等专业学校，江苏 淮安 223001)



集合学习漫谈

王波

(淮安工业中等专业学校，江苏 淮安 223001)

中国是由五十六个民族组成的大家庭；

15计管班全体同学；

小于10的所有质数；

到线段AB两端距离相等的所有点组成的图形。

常言道：“物以类聚，人以群分”。其实，用数学的观点来看，这就是一种最朴素、最生活化的集合的概念。上面的四句话分别表示中国民族的集合、15计管班全体同学的集合、小于10的质数集合和AB的垂直平分线(点的集会)。集合是数学中最基本的概念之一，集合论也成为现代数学中重要的基础理论。集合是高职数学教材第一册中所学到的第一个数学内容，也是今后学习和研究函数的基础。

学习数学，首先应该注重数学概念的学习，只有真正理解了概念的内涵，才能进一步运用概念去分析和解决问题。集合是指在一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成的整体。研究集合，就须要分析构成集合的对象——元素，以及这些元素所具有的共同属性。描述法就清楚的反映了集合的本质，它的基本模式是：{元素|元素的共同属性}。例如“到线段AB两端距离相等的所有点组成的图形”运用描述法可以表示为{P|PA=PB}，即它表示一个点集，且集合中每一个元素P都满足PA=PB。又如，对于集合A={y|y=x2+1}与集合B={(x,y)|y=x2+1}。首先应分析集合的代表元，确定该集合的元素是什么；进而弄清该集合中元素的共同属性。集合A中的元素是数，集合B中的元素是点。虽然两个集合的元素的共同属性的表达形式都是y=x2+1，但意义却完全不同。集合A是数集，它表示x2+1的取值范围，即集合A表示不小于1的实数集；集合B是平面上的点集，它表示平面直角坐标系中，顶点在(0，1)且开口向上的抛物线上所有点构成的集合，即函数y=x2+1的图象。

理解了元素和集合的概念，才能对元素与集合、集合与集合间的关系作出正确判断，并进行集合间的各种运算。例如，空集φ与集合{φ}之间关系的正确回答应该是，当φ表示元素时，φ∈{φ}；当φ表示集合时，φ⊂{φ}。又如，

已知集合P={y|y=x2}，Q={y|y=2x}，M={(x,y)|y=x2}，

N={(x,y)|y=2x}

试求：(1)P∩Q;(2)P∪Q;(3)M∩N;(4)P∩N;(5)(CUM)∪(CUQ)。

因为集合P、Q为数集，P={y|y≥0}，Q=R，所以，

(5)(CUM)∪(CUN)={平面上除去(0，0)和(2，4)的点}。若不能准确理解集合的概念，解答上述问题就有可能误解为P∩Q=P∩N={(0,0),(2,4)}。

对概念有了正确的理解为数学学习奠定了良好的基础。要进一步学好数学，还需要具备一定的数学的基本技能和数学思想方法。数学的内容通常都表现为“数”和“形”两个方面。实际上，数与形是同一事物的两种不同的表现形式，以形助数可以使问题变得更直观、生动，而依数解形则可以使问题变得更加严谨、精确。恰当地运用“数形结合”的思想，不仅可以使问题得到正确解决，还可以使解题变得更简捷明了。集合既可以运用列举法或描述法表示，也可以运用Venn图表示。恰当的运用Venn图表示法，不仅可以帮助我们理解概念，还可以开拓解题思路。例如，设全集U={x|为不大于30的质数}，A∩(CUB)={3,5,11}，(CUA)∩B={17,23}，(CUA)∩(CUB)={2,13,19}，求集合A和B。此题可以从“数”的角度，运用逻辑推理得到正确答案，其解答过程为：U={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29},由A∩(CUB)={3,5,11}可得3,5,11∈A,且3,5,11∉B；

由(CUA)∩B={17,23}得17,23∉A，且17,23∈B；由(CUA)∩(CUB)={2,13,19}得CU(A∪B)={2,13,19}。综上可得A={3,5,7,11,29}，B={7,17,23,29}。若此题能运用Venn图从“形”的角度分析，显得更加直观清晰。

具体方法为：如图，全集被分成四个部分A∩B，A∩(CUB)，(CUA)∩B和CU(A∪B)。根据题设将各部分所确定的元素填进去即可得到正确答案A={3,5,7,11,29}，B={7,17,23,29}。

严密的逻辑性是数学的基本特点。在学习数学的过程中，重视思维的逻辑性和严谨性的培养与训练是十分必要的。如，已知集合M={x|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，求实数a的取值。此题若不注意二次项系数是否为零的问题，就会使解答不完整，仅由Δ=4-4a=0得到a=1，实际上，当二次项系数a=0时，集合M中也只有一个元素。再如，已知集合P={x|x2-2x-3=0}，Q={x|ax-1=0}，若P∩Q=Q，求实数a的值。此题的解答中若不注意到集合Q可以为空集的情况，必将漏解。

由于同学们刚刚进入高中阶段的数学学习，对数学的一些思想方法可能还不是很熟悉，想要熟练地加以运用就会显得更加困难，但这并不可怕，只要能在平时的学习中，多问几个为什么，使解题从偶然走向必然，那么，你的学习能力和解题能力一定会得到提高。集合论的创立者——德国伟大的数学家康托尔(1845—1918)，就是因为不满足于对一些看似矛盾却又实际存在的问题的大众化认识，而去刻苦钻研，抛弃一切经验和直观，用理论进行论证，最终取得了令世人瞩目的成就，创立了对数学具有深远而广泛影响的基础理论——集合论。

最后，留给同学们两个有趣的问题，空闲时你不妨想一想：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立起一一对应，然而两圆的周长却是不一样的；正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了。

难道，正整数和它的一部分(正整数的平方)的个数竟然是相当的！

中图分类号：G232

文献标志码：A

文章编号：1671-1602(2016)14-0288-01