文氏桥混沌电路的设计与实验

陈菊芳，华　影，于东莹

(东北师范大学 物理学院，吉林 长春 130024)



文氏桥混沌电路的设计与实验

陈菊芳，华影，于东莹

(东北师范大学 物理学院，吉林 长春 130024)

从输入导纳的角度对文氏桥电路进行了分析，得到该电路作为正弦波振荡电路和LC选频电路需要满足的条件. 将文氏桥电路与非线性电路组合，设计出文氏桥电路在不同工作模式下的混沌电路，产生具有宽频谱的多种混沌信号.

文氏桥电路；非线性电路；混沌

目前，混沌理论已被列为大学物理教学内容[1-4]，利用电路实验演示混沌现象对于混沌理论的教学具有十分重要的辅助作用. 文氏桥正弦波振荡器是一种经典的RC振荡器，是本科学生必须掌握的内容. 大多数电子线路教材[5-6]利用正反馈的概念和RC选频网络的频率特性来解释振荡器的工作过程. 除此之外，还有其他的分析方法被提出，如电桥平衡法[7]、解微分方程法[8]等，这些分析方法均从不同角度分析了振荡过程及振荡条件，但这些方法只适用于分析文氏桥电路处于正弦振荡工作模式下的工作过程. 实际上，文氏桥电路除了作为振荡器能产生单频正弦波信号外，还可以作为其他功能电路使用，如LC选频电路. 本文从导纳的角度给出文氏桥电路作为正弦波振荡电路和LC选频电路需要满足的条件，分析方法简单，易于学生理解. 在不同工作模式下文氏桥电路分别与非线性电路耦合，产生具有宽频谱的混沌信号，扩展了文氏桥电路的应用范围. 实验均采用普通的电子元器件，演示的实验现象丰富，适用于实验教学或学生科研.

1　文氏桥电路分析

图1　文氏桥电路

Y(S)=[S2R2R3RbC2C3+S(R3RbC3+R2RbC2-R2RaC3)+Rb]/[R2Rb(SR3C3+1)].

(1)

根据式(1)，讨论2种特殊情况，即在实际应用中最常使用的2种形式：

1) 若选取电路参量使得Y(S)=0，即

(2)

说明电路既不从电源吸收能量，也不向外电路提供能量，此时电路产生了等幅正弦自激振荡. 令S=jω，由式(2)可以得到电路的振荡频率为

振幅平衡条件为

特别地，通常选取R2=R3=R，C2=C3=C，得到

与教材[5-6]中的结论完全一致.

2)当选取电路参量满足条件R3Rb=R2Ra时，由式(1)可得

(3)

由式(3)可以看出，从a和b两端看，文氏桥电路等效为如图2所示的LC选频电路，其中等效电感L=R2R3C3，此时文氏桥电路不能产生正弦波振荡.

图2　LC等效电路

2　文氏桥混沌电路的设计

如果将文氏桥电路与非线性电路耦合连接，只要电路结构和参量选择合适，就可产生具有丰富动力学行为和宽频谱的混沌信号. 本文设计的混沌电路如图3(a)所示，其中非线性电路通过电阻R与运放的同相端相连，设非线性电路的电流为iN，选取伏安特性的表达式为

(4)

(a) 混沌电路

(b)非线性电路图3　文氏桥混沌电路

其中a<0,b<0,c>0. 实现非线性的电路如图3(b)所示. 选取R7=R8，则运放A3与二极管实现绝对值运算的功能，乘积项由模拟乘法器实现，电路参量与式(4)中各系数的对应关系为

由图3得到电路的状态方程为

(5)

3　实验结果

通过对图3所示电路的元件参量选取不同值，观测电路所产生信号的不同动力学行为.

3.1选取R2=R3，C2=C3的实验结果

选取文氏桥电路参量：R2=R3=0.2 kΩ，C2=C3=100 nF，Rb=1.0 kΩ，实验中调节电阻Ra来观测电路不同的混沌行为. 选取R=2 kΩ，C1=2 nF，非线性电路中的R4=1 kΩ，R9=4 kΩ，R10=1.8 kΩ，R11=8 kΩ，其他电阻值均为10 kΩ，

对应于式(4)中a=-0.25 mS，b=-0.25 mS/V，c=0.056 mS/V2. 由示波器观测到的实验结果如图4所示，图4(a)与(b)为Ra=2.25 kΩ时的vC2-vC1的相图及vC2的功率谱，可见图4(a)为双涡卷混沌吸引子(横轴为vC1，纵轴为vC2)，图4(b)功率谱中出现噪声背景和宽频谱的特征，反映出混沌运动具有确定系统的随机性. 当选取Ra=2.05 kΩ和Ra=1.94 kΩ时，观测到单涡卷混沌吸引子和1周期相图(横轴为vC1，纵轴为vC2)分别如图4(c)和4(d)所示.

(a) 双涡卷混沌吸引子

(b) vC2的功率谱

(c) 单涡卷混沌吸引子

(d) 1周期图4　实验结果

如果将图3(a)电路中电阻R断开，当Ra=2Rb=2.0 kΩ时，文氏桥电路产生等幅正弦振荡，振荡频率为7.96 kHz;而在没有稳幅元件的条件下，Ra稍大于2.0 kΩ，运放的输出波形将产生非线性失真，Ra稍小于2.0 kΩ，运放无输出波形. 但是对于图3所示的电路，若将非线性电路与文氏桥电路耦合，只要元件参量选择合适，无论Ra大于2.0 kΩ还是小于2.0 kΩ，都能产生稳定的混沌振荡或周期振荡波形. 由图4(b)可见，当电路处于混沌状态时，输出功率分布在基频f0=7.2 kHz附近的较宽频域内，比文氏桥正弦波振荡信号的频率稍低.

3.2选取R2Ra=R3Rb的实验结果

将文氏桥电路中的参量改为：R2=0.1 kΩ，R3=0.67 kΩ，Ra=10 kΩ，Rb=1.5 kΩ，C2=30 nF，C3=750 nF,由以上分析可知，文氏桥电路可用图2所示的LC选频电路等效，等效电感L=50 mH. 此时图3电路可等效为广义蔡氏电路，如图5所示.

图5　等效混沌电路

选取C1=2.5 nF，非线性电路中的R4=1 kΩ，R10=4.5 kΩ，R11=9.1 kΩ，其他电阻值均为10 kΩ，对应于式(4)中a=-0.1 mS，b=-0.1 mS/V，c=0.022 mS/V2. 很显然，实验中通过调节电阻来观测电路不同的混沌行为比较方便.

图6(a),(b)和(c)所示分别是当R=4.96，5.08，5.22 kΩ时，实验得到的三涡卷、双涡卷和单涡卷的混沌吸引子(横轴为vC1，纵轴为vC2)，继续增大电阻R的值，也可以观测到2周期及1周期的波形.

(a) 三涡卷

(b) 双涡卷

(c) 单涡卷图6　vC2-vC1混沌吸引子

为了说明实验结果的正确性，列出图5电路的状态方程：

(6)

根据式(6)，数值计算出了当R=5.0 kΩ时的vC1与vC2的吸引子如图7所示，显然图6(a)与图7基本一致，进一步证明了文氏桥电路与LC选频电路的等效性.

图7　数值计算的结果

根据蔡氏电路的特点，非线性电路也可以采用其他不同的形式，这需要电感等参量随之改变，而利用文氏桥电路代替LC电路的优点是：只要选取不同的电阻和电容值，即可获得电路所需的不同值的等效电感，这尤其对非标称电感的等效更具有实际意义.

如果改变文氏桥电路的参量，使其不满足前面2种特殊条件，只要参量选择合适，图3电路仍然可以产生混沌信号. 例如，选取R2=0.15 kΩ，R3=0.3 kΩ，Ra=3 kΩ，Rb=1 kΩ，C1=1.5 nF，C2=50 nF，C3=68 nF,其他参量保持不变，调节电阻R的阻值由小到大变化，仍然可观测到电路出现不动点、1周期、单涡卷混沌及双涡卷混沌的变化.

图8所示是当R=1.82 kΩ和R=2.0 kΩ时由实验观测到的vC1(横轴)与vC2(纵轴)的1周期和混沌相图.

(a) 1周期

(b) 混沌吸引子图8　vC2-vC1相图

4　结束语

从输入导纳的角度对文氏桥电路进行了分析，得到在不同工作模式下所需要的条件，推导过程简单，物理概念清晰. 将文氏桥电路与非线性电路相结合，构成具有复杂动力学行为的混沌电路. 由实验结果可以看出，对于同一电路结构，电路参量不同，混沌电路的动力学行为和吸引子形状完全不同. 若改变电路中的其他元件值，仍能观测到电路中呈现出的诸如周期、单涡卷及多涡卷等丰富的动力学行为. 若将文氏桥电路与其他形式的非线性电路相耦合，也可构成不同的混沌电路，这里不再赘述.

[1]邓法金. 大学物理学[M]. 北京：科学出版社，2001.

[2]赵凯华，罗蔚茵. 力学[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[3]李蓉，原如领，汪华英，等. 以科研带教学 建设“非线性系统实验”课程[J]. 物理实验，2002，22(2)：26-28.

[4]路峻岭，王延吉，王长江，等. 滚球混沌运动演示实验[J]. 物理实验，2007，27(12)：3-5.

[5]童诗白，华成英. 模拟电子技术基础 [M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[6]康华光. 电子技术基础·模拟部分[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[7]李永安，王革伟，张曦. 文氏桥振荡电路振荡条件的研究[J]. 咸阳师范学院学报，2003,18(6):24-26.

[8]杨世平. 用解微分方程法分析文氏桥振荡器[J]. 延安大学学报(自然科学版)，1998,17(2):63-66.

[责任编辑：任德香]

DesignandexperimentofchaoticWienbridgecircuit

CHENJu-fang,HUAYing,YUDong-ying

(CollegeofPhysics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,China)

Weinbridgecircuitwasanalyzedbasedoninputadmittance,andtheconditionsassinusoidaloscillationcircuitandLCfrenquencyselectivecircuitwerederived.Variouschaoticcircuitsindifferentmodesweredesignedbymeansofnonlinearcircuits,differentchaoticsignalswithbroadbandpowerspectrawereproduced.

Wienbridgecircuit;nonlinearcircuit;chaotic

2016-03-30；修改日期：2016-04-18

东北师范大学教师教学发展基金项目(No.15B1XZJ018)

陈菊芳(1965-)，女，大连瓦房店人，东北师范大学物理学院副教授，博士，研究方向为混沌同步、控制及其应用.

O415.5

A

1005-4642(2016)08-0008-05