(3+1)维波动方程的不变集和精确解

陈　立, 屈改珠,2, 何姝琦

(1.西北大学 数学学院, 陕西 西安　710127； 2.渭南师范学院 数学与信息科学学院, 陕西 渭南　714000)



·数理科学·

(3+1)维波动方程的不变集和精确解

陈立1, 屈改珠1,2, 何姝琦1

(1.西北大学 数学学院, 陕西 西安710127； 2.渭南师范学院 数学与信息科学学院, 陕西 渭南714000)

为研究(3+1)维非线性波动方程的精确解，通过利用不变集方法，得到了(3+1)维非线性波动方程的一些新精确解。 该方法也可以用来求解其他非线性偏微分方程。

波动方程; 不变集; 精确解

求解偏微分方程的精确解是物理、化学、生物、经济等领域中的一个重要课题。到目前为止,已有很多种求解偏微分方程的方法,例如经典和非经典李群方法、广义条件对称法、分离变量法、不变集方法[1-8]、符号不变量和不变子空间方法[9-10]等。V. A. Galaktionov在文献[1-2]中,引入函数不变集S0={u:ux=(1/x)F(u)},讨论了KdV型方程和高阶非线性方程的精确解。屈长征和P.G.Estevez在文献[5]中,引入一般形式的不变集

并将不变集成功地运用到一些非线性发展方程的求解中。文献[4-8]进一步推广了此方法,并得到很多有意义的结果。

本文通过建立函数不变集E0={u:ux=vxF(u),uy=vyF(u),uz=vzF(u)}研究(3+1)维非线性波动方程

utt=A(u)uxx+B(u)uyy+

其中A(u),B(u),C(u),D(u),G(u),P(u),Q(u)均为足够光滑的函数,从而求得一些新的精确解。

1　 (3+1)维波动方程的精确解

考虑(3+1)维非线性波动方程

utt=A(u)uxx+B(u)uyy+C(u)uzz+

(1)

其中A(u),B(u),C(u),D(u),G(u),P(u),Q(u)均为足够光滑的函数。

引入不变集

E0={u:ux=vxF(u), uy=vyF(u),

uz=vzF(u)}，

其中v(x,y,z)是x,y,z的光滑函数,F(u)是由不变条件

u(x,y,z,0)∈E0⟹u(x,y,z,t)∈E0,t∈(0,1]

所确定的光滑函数。当u∈E0时,方程有如下形式的解

利用不变集E0可以得到

ut=h′(t)F,utt=h″F+h′2FF′,ux=vxF,

(2)

假设方程(1)在函数集E0中不变,将式(2)代入方程(1),得

h″+h′2F=Avxx+Bvyy+Cvzz+

(3)

对式(3)两端分别关于x,y,z求导,有

h′2FF″vx=Avxxx+Bvxyy+Cvxzz+

(4)

h′2FF″vy=Avxxy+Bvyyy+Cvyzz+

[A′vxx+B′vyy+C′vzz+

2(CF′+PF)vzvyz;

(5)

h′2FF″vz=Avxxz+Bvyyz+

Cvzzz+[A′vxx+B′vyy+

(6)

从式(4),(5),(6)中很难得到一般形式的解。因此,下面只考虑几种特殊情况,得到A,B,C,D,G,P,Q。

情形1vxx=vyy=vzz=0

由vxx=vyy=vzz=0,得通解为v(x,y,z)=axyz+b(xy+xz+yz)+c(x+y+z)+d。不失一般性,取a=1,b=c=d=0,即v=xyz。在此情况下,不变集E0变为

E1={u:ux=yzF,uy=xzF,uz=xyF}。

如果F″≠0,将v=xyz分别带入式(4),(5),(6)得

(BF′+GF)′x2z2+(CF′+PF)′x2y2+

(7)

(BF′+GF)′x2z2+(CF′+PF)′x2y2+

(8)

(BF′+GF)′x2z2+(CF′+PF)′x2y2+

(9)

分别对式(7)关于x求导，对式(8)关于y求导，对式(9)关于z求导，得

因此方程(1)的系数满足下面的约束条件

AF′+DF=0,BF′+GF=0,

在此种情况下,方程(1)有如下形式的解

若F″=0,即F=u,也可得上述的约束条件。

令A=B=C=um,F=uk,则有

D=G=P=-kum-1,Q=c1ku2k-1。

此时,计算可得方程

utt=um(uxx+uyy+uzz)-

有精确解

由于函数v(x,y,z)=ax+by+dz(a≠0,b≠0,d≠0)为vxx=vyy=vzz=0的一个特解。若F″≠0,将v=ax+by+cz分别代入式(4),(5),(6),得

上式的左端不依赖于x,y,z,故可得A,B,C,D,G,P,Q,F满足

a2(AF′+DF)+b2(BF′+GF)+

情形2vxy=vyz=vxz=0

当vxy=vyz=vxz=0时,可得v(x,y,z)=f(x)+g(y)+r(z),其中f(x),g(y),r(z)分别为x,y,z的光滑函数,此时E0变为

E1={u:ux=f′(x)F(u),uy=g′(y)F(u),

uz=r′(z)F(u)}。

在这种情况下,分以下3种情形进行讨论

情形3 f(x)=ln|x|,g(y)=ln|y|,r(z)=ln|z|

当f(x)=ln|x|,g(y)=ln|y|,r(z)=ln|z|时,v(x,y,z)=ln|x|+ln|y|+ln|z|,那么不变集为

若F″≠0,则式(4),(5),(6)变为

(10)

(11)

(12)

分别对式(10)关于x求导,式(11)关于y求导,式(12)关于z求导得

其中

(A-AF′-DF)′F];

(B-BF′-GF)′F];

(C-CF′-PF)′F]。

可得方程(1)中系数所满足的约束条件

A-AF′-DF=0,B-BF′-GF=0,

若F″=0,即F=u,依然可得上述的约束条件。

令A=B=C=um,F=uk,则D=G=P=um-k-kum-1,Q=c1ku2k-1。

计算可得方程

utt=um(uxx+uyy+uzz)+

有如下精确解

u=

情形4 f(x)=-ln|cosx|,g(x)=-ln|cosy|,r(x)=-ln|cosz|

当f(x)=-ln|cosx|,g(x)=-ln|cosy|,r(x)=-ln|cosz|时,则不变集为

E1={u:ux=tanxF(u),uy=tanyF(u),uz=tanzF(u)}。

若F″≠0,式(4),(5),(6)变为

2(A+AF′+DF)](tanx)2+

(B+BF′+GF)′F(tany)2+

(C+CF′+PF)′F(tanz)2+

2(A+AF′+DF)};

(13)

2(B+BF′+GF)](tany)2+

(A+AF′+DF)′F(tanx)2+

(C+CF′+PF)′F(tanz)2+

2(B+BF′+GF)};

(14)

2(C+CF′+PF)](tanz)2+

(A+AF′+DF)′F(tanx)2+

(B+BF′+GF)′F(tany)2+

2(C+CF′+PF)}。

(15)

对式(13)关于x求导,式(14)关于y求导,对式(15)关于z求导，得

[M′(u)F+2M(u)](tanx)3+

(2M(u)+X′(u)F)tanx=0;

[N′(u)F+2N(u)](tany)3+

(2N(u)+Y′(u)F)tany=0;

[T′(u)F+2T(u)](tanz)3+

(2T(u)+Z′(u)F)tanz=0，

其中

2(A+AF′+DF)];

2(B+BF′+GF)];

2(A+AF′+DF)];

2(B+BF′+GF)];

2(C+CF′+PF)]。

可得方程(1)的约束条件为

A+AF′+DF=0,B+BF′+GF=0,

C+CF′+PF=0,

若F″=0,即F=u,也可得上述结论。

令A=B=C=um,F=uk,则有D=G=P=-um-k-kum-1,Q=c1ku2k-1-3um+k。

计算可得方程

utt=um(uxx+uyy+uzz)-

c1ku2k-1-3um+k

有精确解

E1={u:ux=xF(u),uy=yF(u),uz=zF(u)}。

若F″≠0,可得式(4),(5),(6)分别变为

(BF′+GF)′Fy2+(CF′+PF)′Fz2+

(16)

(BF′+GF)′Fy2+(CF′+PF)′Fz2+

(17)

(BF′+GF)′Fy2+(CF′+PF)′Fz2+

(18)

对式(16)关于x求导,式(17)关于y求导,对式(18)关于z求导，得

可得方程(1)的约束条件为

AF′+DF=0,BF′+GF=0,CF′+PF=0,

若F″=0,即F=u,也可得上述结论。

令A=B=C=um,F=uk,则有D=G=P=-kum-1,Q=c1ku2k-1-3um+k。

计算可得方程

utt=um(uxx+uyy+uzz)-

有精确解

u=

2　结　语

本文利用函数不变集E1={u:ux=vxF(u),uy=vyF(u),uz=vzF(u)},通过取v的一些特殊形式,得到(3+1)维非线性波动的精确解。值得关注的问题是,对于v还能否取更多的形式以及对应的方程会得到什么形式的精确解,有待进一步研究。

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(编辑亢小玉)

Invariant set and exact solutions to the(3+1)-dimensional nonlinear wave equation

CHEN Li1, QU Gai-zhu1,2，HE Shu-qi1

(1.School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, China；2.School of Mathematics and Information Science, Weinan Normal University, Weinan 714000， China)

To study exact solutions of the (3+1)-dimensional wave equations by employing the invariant set method. Some exact solutions of the (3+1)-dimensional wave equations are derived. This approach can also be applied to other nonlinear partial differential equations.

wave equation; invariant sets; exact solutions

2015-10-11

国家自然科学基金资助项目(11371293)；渭南师范学院校级特色学科建设基金资助项目(14TSXK02)；渭南师范学院理工类科研基金资助项目(15YKS005)

陈立， 女， 陕西安康人，从事偏微分方程研究。

O175.29

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-02-004