基于数学任务的小学数学课堂实录研究

陈华++张红

摘 要：数学课程与教学的改革最终都要落实到课堂上，对数学课堂的研究一直是教学研究的焦点。本研究以匹兹堡大学QUASAR研究项目中的“数学任务分析框架”为基础，选取成都某小学五年级数学公开课——“找质数”进行课堂观察，分析在任务实施过程中学生认知水平的变化情况，并解释导致数学任务发生变化的原因，以期为促进教师专业发展提供参考。

关键词：数学任务；课堂研究；小学数学

新课程改革实施以来，对传统教学模式提出了挑战，而改革最终都要落实到课堂上，因此数学课堂研究一直是数学教育研究关注的焦点。本研究以美国匹兹堡大学“QUASAR计划”研究项目中的“数学任务分析框架”为依据，去剖析一个小学课例，研究教师如何组织和实施数学教学任务，并且分析在任务实施过程中学生认知水平的变化情况，解释影响任务实施的主要因素。

一、数学任务分析框架简介

美国匹兹堡大学“QUASAR（Quantitative Understanding：Amplifying Student Achievement and Reasoning）计划”的主要目标是给学生提供更多的思维、推理、问题解决和数学交流的机会。研究者将数学教学任务定义为：不仅是课本上或教师授课计划中出现的问题，而且是围绕教师和学生组织和实施那些问题所进行的课堂活动。数学任务的展开是一个连续的过程，“QUASAR计划”中的数学任务框架可以用来分析课堂教学，任务通常在以下三个阶段被检视：（1）当它出现于课程或教材或由教师自己创造时；（2）教师在课堂上创建或发布任务时；（3）学生演算或思考时。这三个阶段，尤其是第三个阶段（即任务实施阶段）被认为对学生实际学到了什么有重要影响，见图1。

Stein（1998）根据认知要求将数学任务分成2类共4种水平，所谓认知要求指的是学生成功参与并完成任务所需思维的种类和水平。

A. 记忆——任务需要对以前学过的知识简要回忆，不需理解；

B. 无联系的程序——任务提供了解决问题的公式、步骤，与意义不相关；

C. 有联系的程序——任务集中在选择解决问题的程序上，与意义相关；

D. 做数学——任务并未暗示可预期的解题途径，需要研究问题的内在结构，进行复杂的思考。

其中A、B属于低认知水平类型的任务，C、D属于高认知水平类型的任务。

本文据此来分析教师在组织和实施数学任务过程中学生思维水平的变化，并且考查数学任务得以保持或者降低的主要影响因素，为改进教师课堂教学提供参考。

二、课堂案例分析

1. 教师组织和实施数学任务的过程

本节课授课内容为“找质数”，授课地点是成都市某小学，是四川省第二届小学课堂转型与生态课堂教学研讨会中的一堂数学课，执教的F老师具有丰富的教学经验，该班学生今年五年级，特点是思维活跃、学习积极性高。笔者首先参与了本堂公开课，并且进行了录像，在课后反复观看课堂实录的基础上，笔者将F教师的主要教学行为进行了整理，将该教师所组织和实施的主要数学任务提取出来，按照“QUASAR计划”的分析框架，对数学任务及学生的认知水平进行分类，见表2。

2. 核心数学任务分析

本堂课内容为“找质数”，学生在课前已经预习，对质数的概念和简单性质有了一定了解，基本上可以说出质数和合数的概念，因此教师将本堂课的核心数学任务定为找出1到100中所有的质数。该数学任务的综合性较强，任务的复杂之处在于没有解决该问题的特定方法，学生可以从多个角度入手，但是要得出所有正确的答案，就需要小组合作交流和严谨的数学思维，这对学生要求较高，因此属于高认知水平数学任务。笔者先对该教学片段进行简要描述，再进行深入分析。

教师：我们请一个小组来讲讲他们的发现。

讲解的小组共4名学生。

组生1：我的方法是根据质数的定义一个一个地找，我讲完了，谁有评价？

学生（多数）：你这样一个一个列举耗费的时间太多了。

教师：你们小组还有其他方法吗？

组生2：我有一个方法是速记法，2，3，5，7和11，13后面是17……这样依次类推，三个三个地非常好记，我讲完了，谁有评价？

生1：我觉得你这种方法不太保险，因为我发现了一个错误，57是3的倍数，所以是合数。我有一种方法，先去掉合数，剩下的就是质数，首先1既不是质数也不是合数，应划去，再划掉2、3、5、7的倍数，剩余的全都是质数。

组生2：我觉得你的方法非常好。

教师：我让一位同学来配合你，我在投影前放了一张新表，你说怎么划，她就怎么划，你说，她来配合。

组生2：先划掉除2以外的2的倍数。

学生们看着屏幕，一位学生在投影前挨个划掉了2的倍数。

组生2：1既不是质数也不是合数，应划掉，2的倍数已经划掉了，再划掉3的倍数。

教师：下面很多同学想帮忙。

生2：我们以前学过2和5的倍数的特征，2的倍数的特征是个位为0，2，4，6，8，质数的特征是只有1和本身两个因素，所以划掉个位是0，2，4， 6，8的数，5的倍数的特征是个位为0，5，所以把个位是0，5的数划掉，最后再一个一个去掉合数。

教师：还有哪个数的倍数没有被划掉。

组生2：3的倍数，3的倍数很特殊，需要各个数位上的数字之和加起来是3的倍数，这样的数有哪些呢？

学生（多数）：9，33，39，42，……

组生2：47？49？……那我们现在把3的倍数都找完了。

生3：要划掉49，因为是7的倍数。

组生2：我们是要先划掉3的倍数，再划掉7的倍数。

组生2：7的倍数。13？17？……97？接下来我们找11的倍数，只有这么斜着的一排，它的个位和十位数字要一样，已经被全部划掉了，谁还有补充？

……

组生3：我来总结一下我们小组的方法，第一种就是一个个找，第二种就是逆向思维，先找2，3，7的倍数。

最后教师总结，并且用多媒体演示刚才通过大家努力得到的方法，动画演示依次去掉2，3，5，7的倍数。

教师：这种方法其实在古希腊的时候就有数学家发现了，古希腊人把数写在涂蜡的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完成后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫作“拉托斯特尼筛法”，简称“筛法”。今天这堂课如果早上两千多年，说不定这种方法就可以叫作“五二班筛法”。

本堂课教师将核心任务定为找1到100内所有的质数，并且整个过程花了26分钟，占了本堂课58%的时间。在整个过程中，教师将更多的时间留给学生，让学生先独立思考再小组讨论，让学生讲解，让学生评价，让学生提问，给了学生充分表达的机会，真正做到了以学生为中心的教学理念，而教师是课堂的促进者，能在恰当的时机提问和总结。在这个教学片段中，教师使讨论始终围绕数学任务展开，并推动其逐步发展，保持了数学任务的探究水平，其中教学过程的主要特点是：

（1）保持问题的复杂性，通过搭“脚手架”给予学生帮助

F教师先给了充足的时间让学生进行独立思考和小组讨论，而教师在教室中走动，看学生做的情况并询问讨论的结果，适当让学生表 达自己的方法，教师在仔细听取了学生想法的基础上，对学生的困难或疑惑的根源进行评估，然后给出适当的建议，帮助他们依靠自身的努力去解决问题。

（2）保持对学生给出解释和意义的压力

F教师通过向学生提问、追问或让学生相互提问和评价等方式，把讨论引向意义或概念，而不只是最终的正确答案，如在上述教学判断中，教师说：“我还想提一个问题……”“其余同学还有补充吗？”“为什么呢？”一系列的问题引发了学生的积极思考，而学生的相互评价，如“我觉得这个方法太复杂，我有简单的方法”“我觉得这个方法非常好”等，学生的头脑风暴，最终使得数学任务圆满解决。

（3）学生以主体性地位示范了高水平的解答

在进行了小组讨论后，F教师让一个小组的4名学生到讲台上分享他们讨论的成果，刚开始他们提供的方法并不那么让人满意，后来通过教师的引导和同学的帮助，该小组的学生迅速整理了思路。教师还是将机会留给了学生，并没有因为时间的原因就剥夺了学生的机会。从上面展现的教学片段来看，该生得到的数学思考方法对他的成长是有很大帮助的，其他学生也在热烈的讨论中学会了如何思考问题。

（4）创建自由、平等、有序的课堂环境

F教师转变了以往的教育观念，认为教学是师生相互学习、共同探究的过程，她鼓励学生自由表达想法，相互评价质疑，让学生真正参与到课堂中。虽然表面上课堂“乱哄哄”的，但是学生始终围绕着数学任务展开激烈的讨论，让学生从被动学习转向了主动学习。这样的课堂可以促使学生保持积极思考的状态。

然而，本堂课在其他数学任务上也出现了认知水平下降的情况，主要因素有：（1）教师“包办”了学生的思维和推理，练习只是给出了答案，并且提问“从刚才的题目中你有什么发现”，尽管有学生举手，但是教师没给学生发言的机会，而是直接告诉了学生题目背后的数学问题，接着教师介绍了著名的“哥德巴赫猜想”，因为没有引导学生从题目背后进行深入发现，学生对这样突兀的介绍显然有点接受不了，没能达到预期的教学目的。（2）教师把重点从意义、概念或理解转向答案的正确性或完整性。如最开始让学生判断自己的学号是质数还是合数时，教师让学生必须按照示范的例子的格式来回答，她好像相信模仿和反复练习最终能使学生毫无错误地完成程序，得到正确答案，因此降低了任务的高认知水平。（3）时间不足。教师在多个数学任务的时间上安排得不恰当，以致在课堂最后的总结部分，为了节约时间F教师没有让学生分享本节课的收获，而是由教师代替匆忙做了简要的总结，使任务水平下降。

三、结论与建议

一堂课中我们可以从不同的角度审查数学任务，包括从数学任务的数量、类型，任务的组织和实施方式等。“QUASAR”计划从认知要求的角度入手分析数学任务。通过以上对F教师课堂的分析我们可以看到，尽管学生和教师都被认为是课堂活动的重要贡献者，但教师对学生思维和推理的支持方式和程度是决定高水平任务最终命运的一个重要因素。该课例中，数学任务的数量不多，教学主要是围绕核心任务展开，在实施过程中教师注意保持了任务的高认知水平，F教师的本堂课值得其他在职教师参考。当然，该教师应该注意时间的合理安排，因为在教学中也出现了组织阶段高认知水平数学任务下降为实施阶段的低认知水平数学任务的情况。随着教育改革的深入，课堂中高认知水平的数学任务越来越多，但是如何保持任务的高认知水平一直是研究的焦点，笔者认为教师可以按照数学任务分析框架，在课后加强教学反思，这种反思可以是个人反思，也可以是以教学研讨的形式进行的反思，这对促进教师专业发展非常有利。