一道“异题”的求解与变式

江苏省南京金陵中学河西分校

李玉荣　　(邮编：210019)



一道“异题”的求解与变式

江苏省南京金陵中学河西分校

李玉荣(邮编：210019)

近日，有网友在中学数学杂志群里晒出了这样一道题：

图1

此题被网友戏称为不知道怎么设计出来的“异题”：

一是题目给出的条件过于复杂，即使经过化简也不能确定角的度数，如果一味地想求出角，求解走入死胡同；二是怎样将所得角的关系转化为边的关系？求解的过程步履维艰．笔者并不赞同在数学试卷中这样命制填空题，但对如何由AB=5求解FO颇感兴趣，悉心研究，收获不小，撰文与大家分享．

1　求解

图2

思路1取斜边中点，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解

图3

图4

思路2构造等腰三角形，利用“等腰三角形三线合一”求解

解法3如图4，在BD上取点G使得DG=AG，则∠GAD=∠ADB=x，从而∠AGB=2x=∠ABG，所以DG=AG=AB=5，BF=FG，

即BO-FO=FO+OD-DG，

因为BO=DO，

所以2FO=DG=5，故FO=2.5．

图5

图6

思路3构造三角形中位线，利用“三角形中位线定理”求解

图7

思路4利用三角函数直接求解

2　变式

此“异题”的条件可直接弱化，得到下面两道

“贴近学生最近发展区”的适宜题目：

图8

图9

题2如图9，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，AO为中线，过点A作AF⊥BD于点F，若AB=5，则FO的长为______．

图10

3　类比

笛卡尔曾说过：我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解决其它的问题．聪明的读者，你能用几种方法解决下面这道题？

2016-08-06)