双曲线一个优美性质的简证与推广

安徽省铜陵市第一中学

陈良骥　　(邮编：244000)



双曲线一个优美性质的简证与推广

安徽省铜陵市第一中学

陈良骥(邮编：244000)

通过对双曲线一个优美性质的简证， 试图深刻解释其本质，并参照简证的过程对原性质推广，最后给出双曲线中一系列优美的性质.

双曲线;渐近线;二次曲线方程;交点曲线系方程

赵忠华老师在贵刊2016年第2期提出如下一个定理：在双曲线所在的平面内任取一点(该点不在渐近线和双曲线上)，过此点作两条渐近线的平行线，这两条直线与双曲线交于两点，与渐近线交于两点，则双曲线上两点连线平行于渐近线上两点连线.文[1]利用坐标法加以证明，运算量略大.这里笔者另辟蹊径，给出利用二次曲线方程的证法，一方面使得证明过程得到简化，另一方面在此基础上对原性质作出一些推广，并试图从二次曲线的层面深刻揭示其本质.

图1

为了方便，文[1]中的双曲线性质用性质1的方式表述.

1　简证过程

注意到AB和MN的斜率相等，且纵截距不相等，所以AB//MN.

说明以上的解答基于二次曲线里的一个基本的原理，即若二次曲线T1和T2的方程分别为a1x2+b1y2+c1xy+d1x+e1y+f1=0 和a2x2+b2y2+c2xy+d2x+e2y+f2=0且它们有交点，则经过T1和T2交点的二次曲线系方程是a1x2+b1y2+c1xy+d1x+e1y+f1+λ(a2x2+b2y2+c2xy+d2x+e2y+f2)=0(不包括曲线T2).性质1证明过程中首先将直线l1,l2所形成的点集C1视作一个特殊的二次曲线，然后将二次曲线C1和双曲线C2的方程相减即得其交点AB所形成的方程，本质是在曲线系方程中取了λ=-1，由于二次曲线C1和双曲线C2的方程的特殊性，使得此时其二次曲线恰好退化成一条过两交点的直线.

2　相关推广

根据上述的证明过程，我们不难得出性质2和性质3(证明略)

图2

说明从另一个角度看，性质4中双曲线C在点P(x0,y0)处的切线l可以视作性质1中的A,B两点重合的极端情况.当然，性质1—4还可以向点P(x0,y0)关于双曲线的极线方向推广，此处从略.下面我们从过点P(x0,y0)作其它两条特殊直线方面开始推广研究.

图3

从几何的层面看，性质5是显而易见的，下面我们给出利用二次曲线系方程的证法.

接下来，我们研究两条垂线与双曲线的四个交点的状况.

图4

其证明过程也非常类似，如下

令一方面，设直线A1B1,A2B2的方程分别为a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0，则A1B1、A2B2所成点集的二次曲线系方程是(a1x+b1y+c1)·(a2x+b2y+c2)=0.

同理A1B2、B1A2的倾斜角也互补或都为0.

若将过点P(x0,y0)作l1、l2的垂线改成过点P(x0,y0)作两条倾斜角互补的直线即得到性质7.

图5

如果点P(x0,y0)在双曲线C上，考虑性质7的极端形式，不难得出性质8(证明略).

图6

说明性质7—8还可以推广至方程无xy项的一般的二次曲线，相关结论留给读者.

1赵忠华.双曲线一个优美性质的发现 [J].中学数学教学 ，2016(2)

2016-07-29)