非线性规划法在企业营销中的运用

李璐艳 付瑞元

摘 要：采用非线性规划法解决企业生产、销售中的最佳方案问题。结合公司最大需求和最大生产能力，列出约束条件，运用Lingo软件进行求解，进而得到公司利润最大化下的最佳生产、销售方案，为中小企业制订科学的生产、销售计划提供一定的参考。

关键词：非线性规划；企业营销；Lingo

中图分类号：F274 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2016）04-0059-02

一、非线性规划数学模型

对实际非线性规划问题做定量分析，首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数，并建立约束条件。非线性规划问题的一般数学模型可表述为求未知量x1，x2...，xn，使满足约束条件：

gi（x1，...，xn）≥0，i=1，...，m

hj（x1，...，xn）=0，j=1，...，p

并使目标函数f（x1，...，xn）达到最小值（或最大值）。其中gi（x1，...，xn）和hj（x1，...，xn）均是定义在n维向量空间Rn上的某子集D（定义域）上的实值函数，且f（x1，...，xn）、gi（x1，...，xn）、hj（x1，...，xn）中至少有一个是非线性函数。记x=（x1，...，xn），则上述模型可以简记为：

minf（x）或maxf（x）

s.t.gi（x）≥0，i=1，...，mhj（x）=0，j=1，...，p

定义域D中满足约束条件的点称为问题的可行解，全体可行解所组成的集合称为问题的可行集。对于一个可行解x*，如果存在x*的一个领域，使目标函数在x*处的函数值f（x*）不大于（或不小于）该领域中任何其他可行解处的函数值，则称x*为问题的局部最优解，如果f（x*）不大于（或不小于）一切可行解处的目标函数值，则称x*为该模型的整体最优解。

二、应用举例

（一）案例介绍

宏宇电器公司计划生产三类10种小家电，其中包括：热水壶（1.5升、1.8升、2升）、豆浆机（0.9升、1.1升、1.3升）、电饭煲（2升、2.5升、3升、3.5升）。三类小家电的年最大生产能力分别为：热水壶5万个、豆浆机6.5万个、电饭煲6.2万个。制定使公司利润最大的的生产、销售方案（数据来源：2010年东北三省数学建模联赛A题）。

（二）案例求解

公司的收入和支出来自计划内销售和计划外销售两部分，公司所承担的计划内成本应该根据计划内的产品数量占总产品数量的比值确定，即：

公司承担的生产成本=总成本×

公司利润的表达式：

公司总利润=已签约合同的销售额+意向签约合同的销售额+计划外营销部上缴利润-计划内成本-经费

第1种小家电的销售额与订购量的函数关系为：

f1（x）=-0.26713x2+11.418x+1.3873

同理可以得到，第2至10种家电销售额与其订购量的函数关系。记fi（x）为第i种小家电的销售额，i=1，2，...，10，x代表订购量。

同理，记gi（y）为计划外销售第i种小家电营销部向企业缴纳的利润，i=1，2，...，10，y代表销售量；记mi（z）为第种小家电的经费，i=1，2，...，10，z代表产量；记ni（y）为第种小家电的经费，i=1，2，...，10，y代表销售量；记ni（y）为第i种小家电的经费，i=1，2，...，10，y代表产量。

1.每个产品的订购量不能超过客户的最大意向签约量。xij≤Mij，其中xij代表第j个顾客对第i种小家电的订购量，i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，5，Mij代表第j个客户对第i种产品的最大签约量。

2.计划外产品的订购量不能超过其最大可能订购量。xi6≤Ni6，其中xi6代表计划外的第i种小家电的订购量，i=1，2，...，10，Ni6代表计划外第i种产品的最大可能订购量。

3.所有产品的订购量均不能为负数。xij≥0，i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，5，6。

4.各类产品的订购量不能与超过其最大生产能力。∑3 i=1∑6 j=1xij≤12，∑6 i=4∑6 j=1xij≤20，∑3 i=7∑6 j=1xij≤19。

运用Lingo软件得到最大值t=697.33万元，目标函数取得最大值时的各变量取值。为使公司利润达到最大时的生产方案为：1至10种小家电分别对应的生产数量（千件）为：11.59、24.54、13.87、14、29、20、12、24.3、14.3、8.4。

相应的销售方案（如上表所示）。

本文表明，非线性规划法能够有效地解决企业经营中的生产、销售方案问题，这是一种定量的科学的决策方法，对中小型企业具有特殊的适用价值。