NURBS在电场计算中的研究

党伟+孙雨

摘要：在运用边界元方法计算开域场中的电场时，为提高传统一阶边界元法的精度问题，提出NURBS曲面四边形边界元法。此方法是对计算模型进行二阶四边形剖分，采用剖分信息构造出NURBS曲面参数方程，然后用面积比值法定义曲面上顶点的形状函数，曲面四边形的四个顶点作为求解点，计算NURBS曲面四边形单元上的积分值。

关键词：NURBS；电场强度；提高精度；电场计算；边界元法 文献标识码：A

中图分类号：TM151 文章编号：1009-2374（2016）29-0018-04 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.29.008

边界元法在求解电磁数值计算中，是利用离散技术将求解的边界面离散为边界单元，将边界问题等价转化为边界积分方程问题，同时把边界积分方程离散为代数方程组，最后利用数值方法计算方程组，得到边界积分方程的解。

本文提出NURBS曲面四边形边界元方法。利用二阶剖分单元的节点信息，构造出NURBS曲面四边形单元，以曲面四边形单元的顶点为求解点，计算NURBS曲面四边形单元上的积分，最后形成NURBS曲面四边形边界元方法求解三维电场边值问题。

1 NURBS曲面边界元的基本原理

1.1 有理B样条基函数

NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）方法，是在B样条方法基础上发展起来的，为了能进一步精确地描述有理数，推广得到有理多项式基函数。将B样条基函数推广到有理的基函数，就得到了NURBS方法的基函数即有理B样条基函数，而且NURBS曲面在中心投影下得到B样条曲面，所以研究NURBS方法就必须了解B样条方法基础。

B样条函数的概念最初是由Schoenberg于1946年提出的。由de Boor-Cox公式得出提出B样条的递推公式为：

式中：称为相应于序列的次，即阶B样条基函数。其中，下标表示序号，下标表示次数。可以看出想要得到第个次B样条基函数，就得共个节点序列，而且的支撑区间为。由该定义出发，可以导出任意阶次的B样条基函数。文章中是采用高斯积分方法求解数值积分，由于高斯积分法对应的积分区间为。而在区间上B样条基函数为均匀的基函数，根据B样条基函数的性质，次B样条基函数只有个基函数在上非零，而且在上都为多项式函数。取，则由式（1）可得均匀2次B样条基函数表达式为：

有理B样条基函数作为对B样条基函数的推广，一个基函数变为有理分式首先需要相应的一个多项式作为分母，然而考虑到相同的分母将会给有理分式之间的计算带来简便。再注意到B样条基函数具有的“权”性，即在区间的非负性和单位分解性，因此可以采取下面的方法：给每一个B样条基函数乘以一个“权因子”，再用它们的“和”作为统一分母进行“平均”，这样就得到了次有理B样条基函数为：

1.2 NURBS曲面

NURBS曲面是非有理张量积型性B样条曲面的有理推广，类似于NURBS曲线定义，一张次NURBS曲面有理式可以表示为：

其中是双变量的有理基函数：

式中：为控制点；为与控制点相应的权因子；和分别为参数向次和参数向次的定义在和规范有理B样条基函数。

根据式（3），当时，得到广泛应用的双二次NURBS曲面的数学模型为：

上式中是由式（2）推导出，为的转置矩阵。

根据式（7），要得出NURBS曲面的参数方程，必须就算出控制点P11，P12，…，P33。根据有理式表示的NURBS曲面参数方程还可以表示为，其中为曲面数据点列，维数为；为有理基函数，维数为，为方阵，则逆矩阵存在；是控制点，维数为。在已知曲面上的数据点列，假定权因子时，经过矩阵求逆变换可得到双二次NURBS曲面控制点矩阵求逆变换可得。

1.3 四边形单元上的形状函数

本文是以四边形单元的四个顶点为求解点，运用面积比值法构造曲面四边形顶点上的形状函数。曲面单元如图1所示，曲面单元上任意一点处的函数值由4个顶点节点i、j、k、l上的函数值和点相对于4个顶点节点的形状函数插值得到。在图1中，点处的两条参数等值线将曲面单元分成、、、共4部分，其中每一部分的面积都可以通过曲面参数方程得到。设曲面单元总的面积为。则点处关于4个顶点的形状函数定义为：

1.4 边界元法

三维静电场光滑边界的积分方程为：

式中：为边界上的场点；为边界上的源点；为场点电位；为源点电位；为源点到场点的距离，；为边界外法线方向；S为求解区域的边界。

2 NURBS曲面边界元算例分析

2.1 算例一

如图2是高为2、半径为1的四分之一圆柱面。运用面积计算可知其表面积为。将其剖分一个单元，得出节点信息后，导入一阶平面四边形边界元程序计算其表面积为2.8284，相对误差为9.97%。将节点信息导入NURBS曲面边界元程序计算出四分之一圆柱面的表面积为3.1645，相对误差为0.073%。可以得出NURBS曲面边界元程序相比一阶平面四边形边界元程序精度提高了9.24%，所以NURBS曲面更接近实际的四分之一圆柱面，NURBS曲面边界元比一阶平面四边形边界元计算更加精确。

2.2 算例二

半径为1的导体球面，给导体球面加上100V电压，求解球面上的电场强度。用ANSYS建立球面模型，将其自由剖分54个单元，导出单元及节点信息代入NURBS曲面边界元程序计算各节点上的电场强度，结果云图如图3（a）。建立模型后进行一阶单元剖分，自由剖分为54个单元，代入一阶平面四边形边界元程序计算得出结果为图3（b）。将两种计算沿球面电场强度的结果在同一坐标系中呈现为图3（c）。

由电磁场知识得知半径为1m的导体球面加上100V电压，则球面上的电场强度为100V/m。NURBS曲面边界元计算结果最大相对误差为1.46%，一阶平面四边形边界元计算结果最大误差为12.94%。从两种计算得出沿球面上电场强度分布，可以得出NURBS曲面边界元计算结果基本上落在电场强度100V/m左右，节点分布相对规律。一阶平面四边形边界元计算结果距离电场强度100V/m偏差加大，节点分布相对零乱。所以可以得出在相同的剖分单元下，NURBS曲面单元拟合出的曲面更接近实际的球面，计算结果相对一阶平面也更加精确。

2.3 算例三

陶瓷绝缘子型号XP-120，绝缘子结构高度为146mm，建立该绝缘子模型后对边界面采用二阶四边形单元规则剖分240个单元，如图4（a）。高压端金具施加kV电压，低压端金具电压为0V。伞群和芯棒认为是一种介质，相对介电常数为6.0，分别用NURBS曲面边界元法和一阶平面四边形边界元法计算绝缘子的电场强度。为了验证边界元算法计算结果的正确性，根据轴对称可以用二维轴对称高精度有限元法（无限远处为零电位）计算绝缘子电场强度进行结果对比分析验证，单位为kV/mm。

由图4从数值可以看出，NURBS曲面边界元法计算的绝缘子上最大电场强度为13.95kV/mm，高精度有限元计算结果为13.134kV/mm，一阶平面四边形边界元法计算结果为17.675kV/mm。对比图4（b）、图4（c）、图4（d）可知，NURBS曲面边界元法与高精度有限元算法计算结果基本一致；一阶平面四边形边界元法计算结果相对误差为34.5%左右，可以得出NURBS曲面边界元法比一阶平面四边形边界元法明显的精度提高。边界元算法只需要对求解模型的边界进行剖分，求解的规模明显小一些，这也是边界元法相比有限元法的优势。

3 结语

相比于传统的边界元法，提出了NURBS曲面四边形边界元方法，该方法在不增加节点的情况下提高边界元方法计算的精度。通过算例表明，该方法比传统一阶平面单元更逼近实际边界，既提高了精度，又没有增加节点数，达到了比较理想的效果。

参考文献

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[2] 王仁宏，李崇军，朱春钢.计算几何教程[M].北京：科学教育出版社，2008.

[3] 施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4] 李亚莎，王泽忠.基于圆环坐标系的三维静电场曲面三角形边界元法[J].电工技术学报，2006，21（9）.

作者简介：党伟（1975-），男，湖北十堰人，国网湖北省电力公司十堰供电公司高级工，助理工程师。

（责任编辑：黄银芳）