用函数观点看一元二次方程中考在线

山东省枣庄市第二十中学(277000)

王 艳●



用函数观点看一元二次方程中考在线

山东省枣庄市第二十中学(277000)

王 艳●

二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方程的联系，一方面可以深化对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题．同时也是中考的热点内容.下面我们一起走进中考，看看都考了啥．

一、判断二次函数与x轴交点的情况

例1 (2015年陕西中考)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是( ).

A. 没有交点

B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧

C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧

D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧

分析 根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，韦达定理或公式法求方程的根，可得答案．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的判别式与韦达定理．

二、解方程

例2 (2015年苏州中考)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为( ).

A．x1=0,x2=4B．x1=1,x2=5

C．x1=1,x2=-5D． x1=-1,x2=5

解析 由题意得：二次函数图象的对称轴为直线：x=2，而方程的两根应关于直线x=2对称，只能选D.

点评 二次函数与一元二次方程综合，考查二次函数的图象性质及解一元二次方程．是中考常考题型，难度不大.

三、解不等式

例3 (2015年泸州中考)若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x=-1，则使函数值y>0成立的x的取值范围是( ).

A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2

C.x≤-4或x≥2D. -4

分析 由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y>0成立的x的取值范围即可．

解 ∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x=-1，∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4，0)，∵a<0，∴抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x的取值范围是-4

点评 此题考查了二次函数与不等式(组)，求出抛物线与x轴另一个交点坐标是解本题的关键．

四、求参数的取值范围

例4 (2015年南通中考)关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0)，则a的取值范围是 ____．

分析 首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0)，结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．

点评 本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=-1时函数值的取值范围是解答此题的关键．

五、选择图象

例5 (2015年安徽中考)如图2，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能是( ).

解 由图2知方程ax2+bx+c=x，即方程ax2+(b-1)x+c=0有两个不等的正根.又c>0，故函数y=ax2+(b-1)x+c的图象如A.

点评 本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

6.综合性问题

例6 (2015年湖北荆州中考)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0．

(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P(a，y1)，Q(1，y2)是此抛物线上的两点，且y1>y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点，求出定点坐标．

分析 (1)分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式Δ≥0，方程总有实数根；

(2)通过解kx2+(2k+1)x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．

(3)根据题意得到kx2+(2k+1)x+2-y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

解 (1)①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=-2，方程有实数根.

②当k≠0时，

∵Δ=(2k+1)2-4k×2=(2k-1)2≥0，即Δ≥0，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根.

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1．

∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2.

由图象(图3)得到：当y1>y2时，a>1或a<-3．

所以该抛物线恒过定点(0，2)、(-2，0)．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答(1)题时要注意分类讨论．

G632

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1008-0333(2016)26-0003-02