相似图形的研究与实践

江苏省扬州市江都区吴桥中学(225200)

朱 莉●



相似图形的研究与实践

江苏省扬州市江都区吴桥中学(225200)

朱 莉●

图形相似与图形全等有着十分密切的关系，两个全等图形可看成是相似比为1的两个相似图形，可类比三角形全等条件和性质来认识相似三角形条件和有关性质及进一步认识位似变化是特殊的相似变化.本文在解决比例线段问题时，借助“中间量”牵扯线搭桥，常见的“中间量”有“中间比”、“中间线段”、“中间等积式”.本文中在实践应用中提出要注意两图形相似关系，找准对应关系.

图形相似；图形变换；线段成比例

我们能通过生活中的实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比；了解线段的比和成比例的线段；会根据相似多边形的概念识别两个多边形是否相似，并会运用相似多边形的性质进行相关的计算.

(一)相似图形的概念确定

(1)两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.

(2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相同.

(3)判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图形的本质.综上定义如下：

定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形.

例如，依据图形相似的定义，某人的侧身照片和正面照片是两个不同角度的照片，它们的形状不同，因此不是相似图形.下面再依据图形性质确定是否相似进行研究.

案例 下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角是80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形.其中一定是相似图形的是____(填序号)

解析 根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都是形状不唯一确定的图形，而圆、正五边形、有一个内角为100°的等腰三角形的形状唯一确定，它们都相似.

答案：②⑤⑥

(二)四条线段成比例

注意：(1)一般地，四条线段a,b,c,d的单位应该一致，有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以.

比例的相关性质(拓展)

(1)比例的基本性质

(2)比例的有关性质

判断四条线段是否成比例，统一单位后，需把四条线段由小到大排列(或由大到小排列)，分别计算前两条线段和后两条线段的长度之比是否相等或首尾两项的积是否等于中间两项的积.

(三)相似多边形，判断与应用

定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

注意：判断两个多边形相似，必须同时具备：

(1)对应角相等；

(2)对应边成比例.

案例 如图1所示，小明有一个矩形相框，外框ABCD的长、宽分别是20cm，14cm，边框的宽度为2cm.矩形ABCD与矩形EFGH相似吗？若不相似，上、下边框的宽度与左、右边框的宽度满足什么条件时，这两个矩形相似？

分析 两个矩形的四个角都相等，关键是判断矩形ABCD与矩形EFGH的对应边是否成比例.若成比例，则是相似形，否则不是.

我们要注意表面上看，两个矩形相似，其实不足相似，因为相似必须要具备对应角相等，对应边成比例这两个条件，缺一不可.

(四)相似三角形判定与应用

①定义：三个角分别相等，三条边成比例两个三角形叫做相似三角形.②性质：相似三角形的对应角相等；对应边成比例；对应边上的高线与中线的比等于相似比；对应角平分线的比等于相似比；对应周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方.③判定：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

G

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