例谈衔接教学中图形化思想的教学设计

江苏省泰兴市第一高级中学(225400)

张永丰 ●



例谈衔接教学中图形化思想的教学设计

江苏省泰兴市第一高级中学(225400)

张永丰 ●

与一元二次相关的不等式、方程以及二次函数，是初高中衔接中非常重要的基本知识，是后续学习不等式的基础、学习三次以上函数的根本．如何将图形化思想渗透到三者相关的教学中，并加以合理整合引导学生认知呢？笔者做了这样的教学设计，与读者交流：

1.情境问题 建立模型

《爸爸去哪儿》栏目组为了培养五位萌娃的环保意识，决定给爸爸和宝贝们新派一个任务：在长为8米宽为6米的长方形地面上进行绿化，要求四周种满花卉且花卉带的宽度相同，中间种植草坪(如图所示)．为了美观起见，现草坪的种植面积需超过总面积的一半，试问花卉带的宽度应满足什么条件？请同学们帮他们想想办法……

分析 设花卉带的宽为x，则依题意有：(8-2x) (6-2x) > 0.5×8×6，化简得：x2-7x+6>0．

设计意图：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型(绿化问题)，引入新课．(1)给出一元二次不等式的定义.定义：诸如x2-7x+6>0的仅含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的不等式，称为一元二次不等式．(2)探究一元二次不等式x2-7x+6>0的解集：怎样求不等式x2-7x+6>0的解集呢？

2.类比教学 探究解法

初中数学学习中，学生已经领会了一元一次方程和不等式的解法，相关的一次函数的知识也积极领悟了，那么这三者是什么关系？学生却很难讲清楚，这说明学生学习的知识都是孤立的、割裂的．师生活动：教师给出函数图象，并利用几何画板的动态功能演示点P的横坐标的变化，请学生观察其纵坐标反映的是什么量？方程、不等式、函数三者之间的关系如何表述？并得出以下结论：

(1)x轴是一条分界线，一次函数y=2x-7与x轴的交点是分界点．(2)y>0的解即为y=2x-7在x轴上方的图象对应的x的范围；y=0的解即为y=2x-7与x轴交点的横坐标；y<0的解即为y=2x-7在x轴下方的图象对应的x的范围．(3)写出2x-7>0(=0,<0)的解．

学生通过研究发现，原来一次方程和一次不等式可以说是一次函数的特殊情况，这三者之间有着极强的联系，这样利用函数图象关系我们可以快速地解决方程的根和不等式的解集.请学生思考，如何将这种图形化问题解决的思想用于一元二次不等式x2-7x+6>0的求解呢？将其与二次函数联系起来讨论，从而找到其求解方法呢．

探究：一元二次不等式不是我们熟悉的东西，但是大家看f(x)=x2-7x+6和x2-7x+6=0这是什么？研究函数图象成为研究二次方程的一般普适情况，这三者间的关系如一次问题的解决．

容易知道：(1)二次方程的有两个实数根：x1=1，x2=6,二次函数有两个零点：x1=1,x2=6．于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．

(2)观察图2，获得解集：画出二次函数y=x2-7x+6的图象，如图，观察函数图象，可知：当x<1，或x>6时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0，即x2-7x+6>0；当x=1，或x=6时，函数图象与x轴相交，此时，y=0，即x2-7x+6=0；当10的解集是{x|x<1或x>6}，从而解决了开始时提出的问题．

设计意图 从一个初中生能解决的特殊不等式入手，通过图形化思想研究函数图象关系，学生发现利用图形化思想研究不等式的解集可以成为一种一般性的解决方法．

3.一般情形 深入探究

教师引导学生设计一元二次函数图象的不同情形，并从图形中去思考不等式的解集和函数方程的根的关系，将一般化的情形请学生尝试、探索、总结．研究ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．

通过探究一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集：观察Δ的值以及抛物线与x轴相关位置，引导学生得出一元二次不等式的解集应分为Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况讨论．将知识总结成表格，限于篇幅不赘述．

4.运用成果 解决问题

题组1 解不等式x2-2x-15≥0．

分析 方程x2-2x-15=0有两个解是x1=-3,x2=5，所以不等式的解集为{x|x≤-3或x≥5}．

总结： 解一元二次不等式的步骤是：(1)化成标准形式ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0(a>0) (一看)；(2)判定Δ的符号(二判)；(3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;(画出函数图象)(三求)；(4)(结合函数图象)写出不等式的解集(四写)．

题组2 解不等式4x2-4x+1>0．

分析 通过计算Δ=0，方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2,所以原不等式的解集是{x|x≠1/2}．

设计意图 通过不同形式的不等式问题，从头脑中的基本二次函数图象出发，让学生深刻体会解一元二次不等式的关键，还是在头脑中形成相关的二次函数模型．这样对于三者间关系的掌握和处理，对于数形结合思想的培养都是有益的．

G632

B

1008-0333(2016)26-0029-01