构建有效思维感悟数学思想
——对三则“反比例函数的图象和性质”教学片断的评析与思考

江苏省苏州高新区实验初级中学(215000)

李树平●



构建有效思维感悟数学思想
——对三则“反比例函数的图象和性质”教学片断的评析与思考

江苏省苏州高新区实验初级中学(215000)

李树平●

按照《课程标准》的要求，“让学生获得适应末来生存与发展所必需的数学思想”是一个重要的课程目标.那么，如何在教学过程中能够做到这一点，自然成为数学教学研究的一个重要问题.

笔者2015年4月16日参加了苏州高新区八年级教改组的活动，本次活动是以“反比例函数的图象和性质”为题，由苏州高新区通安中学两位老师各上了一堂现场研究课.这节课内容看似简单，但却蕴含着丰富的数学思想方法.在评课环节，大家对课堂教学的得失进行了客观的分析，其中很多老师都提到如何构建有效教学活动，让学生自然感悟本节内容中所蕴含的数学思想方法.本文选取三则教学片断进行回顾与评析，与同仁一起探究数学思想方法的教学.

1.三则“反比例函数的图象和性质”教学片断回顾与评析

片断一：课堂引入环节

教师：在研究分式的时候，我们是先从分数的概念、性质、运算法则来类比学习的，今天我们研究反比例函数的图象和性质，谁来说说你准备从哪些知识入手进行类比学习？(学生一脸茫然，经教师多次引导终于说出了正比例函数.)

教师：正比例函数的图象是什么？性质有哪些？(学生回答了正比例函数的图象和性质)

教师：今天我们就类比正比例函数的图象与性质来学习反比例函数的图象和性质.

评析 奥苏伯尔提出：在呈现具体内容之前，先呈现一些密切相关的、包容范围广但又非常容易使人理解和记忆的引导性材料——先行组织者.在提供学习材料之前，可向先学习者提供一个研究问题的线索及方法，有利于学习者从整体上把握研究问题的方向.在片断1中，教者试图告诉学生用类比正比例函数的图象和性质的思想来学习反比例函数的图象和性质，这样的教学也体现了类比的思想，但立意似乎低了些，没有让学生真正体会到研究函数图象和性质的思想方法，感觉是教者自己贴上了类比的思想方法的标签.

笔者认为：在给出学习课题后，可以先给学生这样的先行组织者：在研究反比例函数图象之前我们学习过哪些函数？当时研究了关于这些函数的哪些问题？通过什么方法研究的？通过这样的问题，既可以让学生回顾一次函数的图象与性质，也让学生明确了之前研究了关于一次函数的哪些方面(定义、图象、性质及应用)的问题，是通过什么方法研究的.这样从整体上概括研究的内容和方法，让学生在学习之前做到心中有数，心中有法，不仅有利于学生领悟数学思想方法，也有助于培养学生创新意识和实践能力.

片断二：反比例函数性质探索环节

学生1：它们的图象都分布在一、三象限.

学生2：通过观察图象可发现随着x值的增大，y的值越来越小.

教师：你能从解析式和图象两个方面来说明吗？

学生1：解析式中的k为正数时，说明图象上每个点的横纵坐标同号，这样的点在第一或第三象限.

学生2：通过观察画图象所列表格发现，随着x值的增大，y的值在减小.

教师：那你能归纳你的发现吗?

学生2：当k>0时，y随x的增大而减小.

学生3：不对，当x=-1时，y=-6，当x=1时，y=6，随着x值的增大，y的值在增大.

教师：这又是怎么一回事呢？(学生疑惑不解)

教师：学生2说的结论有成立的条件吗？

学生4：我发现在第一象限和第三象限都是成立的，对整个图象就不成立了.

教师：观察真仔细，所以在描述反比例函数图象性质时应强调在每个象限内.谁来重新归纳一下反比例函数图象的性质？……

教师：刚才在发现反比例函数图象的性质时用了什么样的数学思想方法?

学生5：数形结合.

评析 函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．通过对函数图象的分析与研究，除了关注函数的性质的知识目标，更要关注研究过程中体现的数形结合等数学思想方法.在这个教学环节中，教师引导学生先观察函数解析式中两变量的取值特点，及画图象过程中所列表格中两变量的变化规律，再到函数性质的探究、归纳，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的相互转化的过程.这种从函数的解析式、表格、图象、性质相互间关联入手的研究方法，使数学结合思想无声地渗透到学习过程中，也体现了相互之间的转化对研究问题的特殊作用，是转化思想的具体应用，教学效果较好.

片断三：反比例函数性质的应用环节

教师：你能求y1、y2、y3的值并比较大小吗？

学生1：y1、y2、y3的值分别为：1、4、-4.所以y3

教师：这里采用代入求函数值，再进行比较大小的方法，这样的结果很可靠，但如果所给的自变量的数值较大，显然我们再用代入法去求值就会加大运算量，大家看看还有没有其他的办法比较大小？

学生2：我觉得可以利用刚学习的反比例函数的增减性来进行比较大小.

∵反比例函数y=-4/x，k=-4<0,

∴y随x的增大而增大.

又∵-4<-1<1,∴y1

教师：这样思考有点抽象，不仿画出y=-4/x的图象，借助函数图象找出问题.(学生画出图象)

教师：在图象上描出这三个点的大致位置，仔细观察，找到问题的答案！(学生画出各点的位置，并展开了讨论.)

学生3：三个点在两支不同的曲线上，分布在不同的象限内，而反比例函数的增减性描述的是同一象限内的变化规律.

教师：反比例函数图象是不连续的两支曲线，当我们研究它的增减性时，必须考虑所给的点是否分布在同一象限内.如果抛开图象来直接来进行比较就显得复杂抽象，而借助图象描出各点的位置，就可以直观地比较出函数的大小关系.

评析 片断3的教学过程彰显了教者的教学智慧.关于函数值的大小比较，学生并不陌生，在八年级一次函数的学习中已积累了处理问题的经验.由于一次函数图象是连续的，关于它的函数值的大小比较可以直接利用增减性比较，或通过求值比较.学生在这样的已有知识经验基础上，对于本例中的问题，自然想到直接代入求值比较或借助增减性比较.这恰是反比例函数性质与一次函数性质的关键不同之处.教师并没有急于给出方法指导，而是让学生自己充分尝试，发现不同的结果，让学生产生思维冲突，激发了求知欲，再通过巧妙设问，点拨学生画出图象，描出点的大致位置，学生从抽象思考的迷茫到对直观的图象的明了，豁然开朗，也加深理解了反比例函数在不同象限内分别描述增减性的内涵.这种把抽象问题通过直观图象来研究的过程，使学生进一步感悟了数形结合思想方法.

2.对渗透数学思想方法的教学的思考与感悟

数学思想方法是数学知识的灵魂，是对数学知识内容的本质认识，是对所使用的方法和规律的理性认识，如此理性的认识必然隐性地存在于一定的载体中，因此，将问题解决转化为思维建构是衍生数学思想方法的有效路径，让学生在对比、探索及内化中感悟数学思想方法，从而让看不见的数学思想方法渐次模仿、内化及运用，在有效思维构建活动中自觉地改变个体思维的方法，感悟数学思想方法.

1.在比对与模仿中感悟数学思想方法

认知心理学研究表明，数学思想方法要注意屏蔽“功能固着”，即通过具有不同的问题情境，把那些在解题思想方法上具有相似或相关的问题串联起来，在变化中求不变，感悟数学思想方法的本质.例如：本课例中学习反比例函数的图象与性质可类比一次函数的图象与性质，一方面是对一次函数图象与性质的复习，另一方面也让学生从整体上明确研究函数图象和性质的的基本套路，明确通过什么方法研究，通常研究哪些方面的问题，这对学生终身学习及终身的发展都有很大帮助.通过对不同类型函数的研究，逐步理解函数的内涵，学生对函数内涵的逐步理解提高的过程，也可以说是一个渐进的比对与模仿的过程.

2.在自主探索与合作交流中感悟数学思想方法

《课程标准》指出：“数学思想蕴涵在数学知识的发生、发展及应用过程中，是数学知识与方法在更高层次上的抽象与概括，学生在参与数学活动中的过程中，通过自主探索、合作交流，逐步感悟数学思想.”因此，数学思想方法重在悟，悟就需要过程，一个循序渐进、逐步逼近思想本质的过程.例如本课例片断2中教学设计，通过启发式教学，意在让学生亲身经历观察、实验、猜想、归纳的过程，通过巧妙设问，引导学生由“解析式”、“表格”到“图象”，再到“性质”，将数的刻画和形的表达两者紧密联系起来，在一次次由数到形、由形到数的思维活动中，让学生运用观察、猜测、归纳、表达等多种方式，充分感受数学问题研究中数与形两种方法之间相辅相成.

3.在内化与运用中感悟数学思想方法

数学思想离不开具体的数学内容，只有对数学内容进行深入的思考，才能逐步感悟其中蕴涵的数学思想.而一种数学思想方法的形成往往需要在不同的问题背景中经历提炼、理解、应用等循环过程，让学生切实参与，才能渐次领悟.鉴于此，运用新知识解决问题，恰好能让学生感悟的数学思想方法得到有效的顺应，让数学思想方法由浅层面的认识渐次走向深刻的理解，真正得以内化.例如本课例片断3中例题的教学设计，学生在已有的知识经验支持下，通过代入计算比较大小和利用增减性进行函数值的大小比较进一步强化反比例函数与一次函数性质的关键不同之处.在教师画出图象的点拨下，学生豁然开朗，让学生在解决问题过程中内化了数形结合的数学思想方法，并形成了一定的运用思想方法的意识.

[1]马复，凌晓牧.新版课程标准解析与教学指导[M].北京：北京师范大学出版社.

[2]马敏.让学生在思维建构中“默会”数学思想方法[J].中学数学教学参考：中旬，2013(12):14-16

G632

B

1008-0333(2016)26-0032-02